Determine tais que o polinômio seja um quadrado perfeito em .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar números inteiros e no conjunto (que são os restos da divisão por 7: ) de forma que o polinômio seja um quadrado perfeito em . Em outras palavras, queremos que possa ser escrito como , onde é um polinômio em .
Passo 2
Primeiro, vamos supor que é um polinômio de grau 2, já que é de grau 4 (porque dá um polinômio de grau 4). Então, vamos escrever assim:
onde também estão em .
Passo 3
Agora, vamos calcular :
Expandindo isso:
Queremos que isso seja igual a . Então, vamos igualar os coeficientes correspondentes de cada potência de :
Passo 4
Igualando os coeficientes, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver cada uma dessas equações passo a passo.
Passo 5
Primeiro, resolvemos . Os números em que satisfazem isso são e , porque:
Então, temos duas possibilidades para : 1 ou 6.
Passo 6
Vamos considerar primeiro .
Para :
A segunda equação fica , ou seja, .
Dividindo ambos os lados por 2 (que tem inverso multiplicativo 4 em ), temos .
Passo 7
Continuando com e :
A terceira equação é , ou seja, .
Simplificando, (porque ).
Então, .
Multiplicando ambos os lados por 4 (inverso de 2 em ), temos .
Passo 8
Agora, com , , e :
A quarta equação é , ou seja, . Então, .
A quinta equação é , ou seja, . Então, .
Passo 9
Agora, vamos considerar a segunda possibilidade para : .
Para :
A segunda equação fica , ou seja, .
Simplificando, (porque ).
Multiplicando ambos os lados por 3 (inverso de 5 em ), temos .
Passo 10
Continuando com e :
A terceira equação é , ou seja, .
Simplificando, (porque e em ).
Então, .
Multiplicando ambos os lados por 3 (inverso de 5), temos .
Passo 11
Agora, com , , e :
A quarta equação é , ou seja, . Então, .
A quinta equação é , ou seja, . Então, .
Resposta
Portanto, os valores que satisfazem o enunciado são: