Determine a, b pertence a Z7 tais que o polinômio f(x) = a + b*x + 5*x^2 + 6*x^3 + x^4 seja um quadrado perfeito em Z_7.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar números inteiros e no conjunto (que são os restos da divisão por 7: ) de forma que o polinômio seja um quadrado perfeito em . Em outras palavras, queremos que possa ser escrito como , onde é um polinômio em .

Passo 2

Primeiro, vamos supor que é um polinômio de grau 2, já que é de grau 4 (porque ô dá um polinômio de grau 4). Então, vamos escrever assim:
onde também estão em .

Passo 3

Agora, vamos calcular :
Expandindo isso:
Queremos que isso seja igual a . Então, vamos igualar os coeficientes correspondentes de cada potência de :

Passo 4

Igualando os coeficientes, temos o seguinte sistema de equações:
Vamos resolver cada uma dessas equações passo a passo.

Passo 5

Primeiro, resolvemos . Os números em que satisfazem isso são e , porque:
Então, temos duas possibilidades para : 1 ou 6.

Passo 6

Vamos considerar primeiro .
Para :
  • A segunda equação fica , ou seja, .
  • Dividindo ambos os lados por 2 (que tem inverso multiplicativo 4 em ), temos .

Passo 7

Continuando com e :
  • A terceira equação é , ou seja, .
  • Simplificando, (porque ).
  • Então, .
  • Multiplicando ambos os lados por 4 (inverso de 2 em ), temos .

Passo 8

Agora, com , , e :
  • A quarta equação é , ou seja, . Então, .
  • A quinta equação é , ou seja, . Então, .

Passo 9

Agora, vamos considerar a segunda possibilidade para : .
Para :
  • A segunda equação fica , ou seja, .
  • Simplificando, (porque ).
  • Multiplicando ambos os lados por 3 (inverso de 5 em ), temos .

Passo 10

Continuando com e :
  • A terceira equação é , ou seja, .
  • Simplificando, (porque e em ).
  • Então, .
  • Multiplicando ambos os lados por 3 (inverso de 5), temos .

Passo 11

Agora, com , , e :
  • A quarta equação é , ou seja, . Então, .
  • A quinta equação é , ou seja, . Então, .

Resposta

Portanto, os valores que satisfazem o enunciado são:

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