Quantos polinômios de grau p existem no anel Z_m[x] ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pergunta quantos polinômios de grau existem no anel . Isso envolve entender um pouco sobre polinômios em anéis e como contar suas possibilidades. Vamos precisar saber o que é um anel, o que significa um polinômio ter um certo grau, e como os coeficientes desses polinômios podem variar dentro de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é o conjunto dos inteiros módulo , ou seja, . Um polinômio de grau em tem a forma:
Para que o polinômio tenha grau exatamente , o coeficiente (o que multiplica ) não pode ser zero. Os demais coeficientes ( ) podem ser quaisquer valores em , inclusive zero.

Passo 3

Vamos contar as possibilidades para cada coeficiente:
  1. Coeficiente principal ( ): Como não pode ser zero para o polinômio ter grau , ele tem opções possíveis (todos os elementos de menos zero).
  2. Demais coeficientes ( ): Cada um desses coeficientes pode ser qualquer elemento de , ou seja, têm opções cada.

Passo 4

Agora, para encontrar o total de polinômios de grau , multiplicamos as possibilidades de cada coeficiente:
ô
Aqui, representa as opções para e representa as opções para os demais coeficientes.

Resposta

Existem polinômios de grau no anel .

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