Quantos polinômios de grau
existem no anel
? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pergunta quantos polinômios de grau
existem no anel
. Isso envolve entender um pouco sobre polinômios em anéis e como contar suas possibilidades. Vamos precisar saber o que é um anel, o que significa um polinômio ter um certo grau, e como os coeficientes desses polinômios podem variar dentro de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o conjunto dos inteiros módulo
, ou seja,
. Um polinômio de grau
em
tem a forma:
Para que o polinômio tenha grau exatamente
, o coeficiente
(o que multiplica
) não pode ser zero. Os demais coeficientes (
) podem ser quaisquer valores em
, inclusive zero.
Passo 3
Vamos contar as possibilidades para cada coeficiente:
-
Coeficiente principal (
): Como não pode ser zero para o polinômio ter grau , ele tem opções possíveis (todos os elementos de menos zero). -
Demais coeficientes (
): Cada um desses coeficientes pode ser qualquer elemento de , ou seja, têm opções cada.
Passo 4
Agora, para encontrar o total de polinômios de grau
, multiplicamos as possibilidades de cada coeficiente:
Aqui,
representa as opções para
e
representa as opções para os demais
coeficientes.
Resposta
Existem
polinômios de grau
no anel
.