Consideremos dois planos infinitos, paralelos, de carga, um coincidente com o plano yz e o outro a uma distância . Calcular o potencial em qualquer ponto do espaço, com em e com os planos com densidades de cargas positivas iguais a . R para para para
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos dois planos infinitos e paralelos carregados com uma densidade de carga positiva igual a . Um desses planos está no plano (ou seja, na posição ) e o outro está a uma distância desse primeiro plano. A tarefa é calcular o potencial elétrico em qualquer ponto do espaço, sabendo que em o potencial é zero (). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico de placas infinitas e como o potencial elétrico se relaciona com o campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma placa infinita com densidade de carga é dado por:
onde é a permissividade do vácuo. Como temos duas placas com cargas positivas, uma em e outra em , vamos analisar o campo elétrico em diferentes regiões do espaço.
Passo 3
Vamos dividir o espaço em três regiões para facilitar:
Região 1:
Região 2:
Região 3:
Em cada uma dessas regiões, os campos elétricos das duas placas vão se somar ou se cancelar, dependendo da direção.
Passo 4
Região 1 ():
Ambas as placas geram campos elétricos para fora delas (já que as cargas são positivas). Portanto, o campo total nessa região é:
Esse campo é constante nessa região.
Passo 5
Região 2 ():
Aqui, o campo da placa em vai na direção positiva de , enquanto o campo da placa em vai na direção negativa de . Então, eles se cancelam:
Nessa região, não há campo elétrico resultante.
Passo 6
Região 3 ():
Agora, ambos os campos elétricos estão na direção negativa de (saindo das placas para fora), então eles se somam:
O campo é constante nessa região, mas na direção oposta.
Passo 7
Agora que temos o campo elétrico em cada região, vamos relacionar isso com o potencial elétrico . Lembrando que o campo elétrico é a derivada negativa do potencial:
Para encontrar , vamos integrar o campo elétrico em cada região.
Passo 8
Região 1 ():
Integrando:
Como sabemos que em :
Logo:
Passo 9
Região 2 ():
Integrando:
Como em :
Então:
Passo 10
Região 3 ():
Integrando:
Precisamos determinar . Na fronteira entre Regiões 2 e 3 (), sabemos que :