Consideremos dois planos infinitos, paralelos, de carga, um coincidente com o plano yz e o outro a uma distância . Calcular o potencial em qualquer ponto do espaço, com em e com os planos com densidades de cargas positivas iguais a . R para para para

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos dois planos infinitos e paralelos carregados com uma densidade de carga positiva igual a . Um desses planos está no plano (ou seja, na posição ) e o outro está a uma distância desse primeiro plano. A tarefa é calcular o potencial elétrico em qualquer ponto do espaço, sabendo que em o potencial é zero ( ). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico de placas infinitas e como o potencial elétrico se relaciona com o campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico gerado por uma placa infinita com densidade de carga é dado por:
onde é a permissividade do vácuo. Como temos duas placas com cargas positivas, uma em e outra em , vamos analisar o campo elétrico em diferentes regiões do espaço.

Passo 3

Vamos dividir o espaço em três regiões para facilitar:
  1. Região 1:
  2. Região 2:
  3. Região 3:
Em cada uma dessas regiões, os campos elétricos das duas placas vão se somar ou se cancelar, dependendo da direção.

Passo 4

Região 1 ( ):
Ambas as placas geram campos elétricos para fora delas (já que as cargas são positivas). Portanto, o campo total nessa região é:
Esse campo é constante nessa região.

Passo 5

Região 2 ( ):
Aqui, o campo da placa em vai na direção positiva de , enquanto o campo da placa em vai na direção negativa de . Então, eles se cancelam:
Nessa região, não há campo elétrico resultante.

Passo 6

Região 3 ( ):
Agora, ambos os campos elétricos estão na direção negativa de (saindo das placas para fora), então eles se somam:
O campo é constante nessa região, mas na direção oposta.

Passo 7

Agora que temos o campo elétrico em cada região, vamos relacionar isso com o potencial elétrico . Lembrando que o campo elétrico é a derivada negativa do potencial:
Para encontrar , vamos integrar o campo elétrico em cada região.

Passo 8

Região 1 ( ):
Integrando:
Como sabemos que em :
Logo:

Passo 9

Região 2 ( ):
Integrando:
Como em :
Então:

Passo 10

Região 3 ( ):
Integrando:
Precisamos determinar . Na fronteira entre Regiões 2 e 3 ( ), sabemos que :
Portanto:
Ou de forma equivalente:

Resposta

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Determine a equação do plano tangente da seguinte função
no ponto .
Refaça o problema supondo uma distribuição de carga não uniforme e de densidade linear de carga , onde é uma constante positiva.
b) ;
c) .
Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por dois métodos:
a. sem eliminar o parametro,
i. e
Encontre . Para quais valores de a curva é concava pra cima?
b. e