Consideremos dois planos infinitos, paralelos, de carga, um coincidente com o plano yz e o outro a uma distância
. Calcular o potencial em qualquer ponto do espaço, com
em
e com os planos com densidades de cargas positivas iguais a
. R
para
para
para
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos dois planos infinitos e paralelos carregados com uma densidade de carga positiva igual a
. Um desses planos está no plano
(ou seja, na posição
) e o outro está a uma distância
desse primeiro plano. A tarefa é calcular o potencial elétrico
em qualquer ponto do espaço, sabendo que em
o potencial é zero (
). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico de placas infinitas e como o potencial elétrico se relaciona com o campo elétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico
gerado por uma placa infinita com densidade de carga
é dado por:
onde
é a permissividade do vácuo. Como temos duas placas com cargas positivas, uma em
e outra em
, vamos analisar o campo elétrico em diferentes regiões do espaço.
Passo 3
Vamos dividir o espaço em três regiões para facilitar:
- Região 1:
- Região 2:
- Região 3:
Em cada uma dessas regiões, os campos elétricos das duas placas vão se somar ou se cancelar, dependendo da direção.
Passo 4
Região 1 (
):
Ambas as placas geram campos elétricos para fora delas (já que as cargas são positivas). Portanto, o campo total nessa região é:
Esse campo é constante nessa região.
Passo 5
Região 2 (
):
Aqui, o campo da placa em
vai na direção positiva de
, enquanto o campo da placa em
vai na direção negativa de
. Então, eles se cancelam:
Nessa região, não há campo elétrico resultante.
Passo 6
Região 3 (
):
Agora, ambos os campos elétricos estão na direção negativa de
(saindo das placas para fora), então eles se somam:
O campo é constante nessa região, mas na direção oposta.
Passo 7
Agora que temos o campo elétrico em cada região, vamos relacionar isso com o potencial elétrico
. Lembrando que o campo elétrico é a derivada negativa do potencial:
Para encontrar
, vamos integrar o campo elétrico em cada região.
Passo 8
Região 1 (
):
Integrando:
Como sabemos que
em
:
Logo:
Passo 9
Região 2 (
):
Integrando:
Como
em
:
Então:
Passo 10
Região 3 (
):
Integrando:
Precisamos determinar
. Na fronteira entre Regiões 2 e 3 (
), sabemos que
:
Portanto:
Ou de forma equivalente: