Consideremos dois planos infinitos, paralelos, de carga, um coincidente com o plano yz e o outro a uma distância x=a. Calcular o potencial em qualquer ponto do espaço, com V=0 em x=0 e com os planos com densidades de cargas positivas iguais a +sigma. R ) V=sigma x / varepsilon0 para x<0 ; V=0 para 0 <= x <= a ; V=-sigma(x-a) / varepsilon0 para x>a

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão tá pedindo. Temos dois planos infinitos e paralelos carregados com uma densidade de carga positiva igual a . Um desses planos está no plano (ou seja, na posição ) e o outro está a uma distância desse primeiro plano. A tarefa é calcular o potencial elétrico em qualquer ponto do espaço, sabendo que em o potencial é zero ( ). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico de placas infinitas e como o potencial elétrico se relaciona com o campo elétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico E = sigma2varepsilon0 gerado por uma placa infinita com densidade de carga é dado por:
onde é a permissividade do vácuo. Como temos duas placas com cargas positivas, uma em e outra em , vamos analisar o campo elétrico em diferentes regiões do espaço.

Passo 3

Vamos dividir o espaço em três regiões para facilitar:
  1. Região 1:
  2. Região 2:
  3. Região 3:
Em cada uma dessas regiões, os campos elétricos das duas placas vão se somar ou se cancelar, dependendo da direção.

Passo 4

Região 1 ( Etotal = sigma2varepsilon0 + sigma2varepsilon0 = sigmavarepsilon0 ):
Ambas as placas geram campos elétricos para fora delas (já que as cargas são positivas). Portanto, o campo total nessa região é:
Esse campo é constante nessa região.

Passo 5

Região 2 ( Etotal = sigma2varepsilon0 - sigma2varepsilon0 = 0 ):
Aqui, o campo da placa em vai na direção positiva de , enquanto o campo da placa em vai na direção negativa de . Então, eles se cancelam:
Nessa região, não há campo elétrico resultante.

Passo 6

Região 3 ( Etotal = -sigma2varepsilon0 - sigma2varepsilon0 = -sigmavarepsilon0 ):
Agora, ambos os campos elétricos estão na direção negativa de (saindo das placas para fora), então eles se somam:
O campo é constante nessa região, mas na direção oposta.

Passo 7

Agora que temos o campo elétrico em cada região, vamos relacionar isso com o potencial elétrico E = -dVdx . Lembrando que o campo elétrico é a derivada negativa do potencial:
Para encontrar , vamos integrar o campo elétrico em cada região.

Passo 8

Região 1 ( -dVdx = sigmavarepsilon0 implies dV = -sigmavarepsilon0 dx ):
V = -sigmavarepsilon0 x + C
Integrando:
0 = -sigmavarepsilon0 cdot 0 + C implies C = 0
Como sabemos que V = sigmavarepsilon0 x para x < 0 em :
Logo:

Passo 9

Região 2 ( -dVdx = 0 implies dV = 0 ):
V = C
Integrando:
C = 0
Como V = 0 para 0 <= x <= a em :
Então:

Passo 10

Região 3 ( -dVdx = -sigmavarepsilon0 implies dV = sigmavarepsilon0 dx ):
V = sigmavarepsilon0 x + C
Integrando:
0 = sigmavarepsilon0 a + C implies C = -sigma avarepsilon0
Precisamos determinar V = sigmavarepsilon0 x - sigma avarepsilon0 = sigmavarepsilon0 (x - a) para x > a . Na fronteira entre Regiões 2 e 3 ( V = -sigmavarepsilon0 (x - a) para x > a ), sabemos que :
Portanto:
Ou de forma equivalente:

Resposta

V = sigma xvarepsilon0 & para x < 0 0 & para 0 <= x <= a -sigma (x - a)varepsilon0 & para x > a

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