Encontre uma equação da tangente à curva no ponto dado por dois métodos:
a. sem eliminar o parametro,
i. x=1+ln t e y=t^2+2, P(1,3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a equação da tangente à curva no ponto usando métodos paramétricos. A gente vai trabalhar com as equações paramétricas e . Para isso, vamos precisar entender como calcular a derivada de em relação a usando o parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir qual valor de 1 = 1 + ln t implies ln t = 0 implies t = e^0 = 1 corresponde ao ponto . Sabemos que e .
Igualando a 1:
Então, corresponde ao ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas de dxdt = ddt(1 + ln t) = 1t e dydt = ddt(t^2 + 2) = 2t em relação a dxdt|t=1 = 11 = 1 :
dydt|t=1 = 2 times 1 = 2
No ponto :

Passo 4

A derivada de dydx = dydtdxdt = 21 = 2 em relação a ( ) é dada por:
Então, a inclinação da tangente no ponto é 2.

Passo 5

Com a inclinação y - y0 = m(x - x0) e o ponto y - 3 = 2(x - 1) , podemos usar a fórmula da reta tangente na forma ponto-inclinação:
y = 2x - 2 + 3
Substituindo os valores:
y = 2x + 1

Resposta

A equação da tangente à curva no ponto y = 2x + 1 é:

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