Refaça o problema supondo uma distribuição de carga não uniforme e de densidade linear de carga , onde é uma constante positiva.
b) ;
c) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de eletrostática onde precisamos recalcular o campo elétrico e o potencial elétrico considerando uma distribuição de carga que não é mais uniforme. Agora, a densidade linear de carga é dada por , onde é uma constante positiva e é a posição ao longo do fio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de integração para cargas distribuídas e as fórmulas de campo elétrico e potencial elétrico para distribuições contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma distribuição de carga linear não uniforme, o campo elétrico em um ponto devido a um pequeno elemento de carga é dado por:
Como nossa densidade de carga é , podemos expressar como .
Passo 3
Agora, vamos considerar um fio de comprimento , onde varia de a . O campo elétrico total no ponto considerado será a integral de todos os pequenos campos elétricos gerados por cada elemento do fio. Se assumirmos que o ponto onde estamos calculando o campo está no eixo do fio, a direção do campo é ao longo desse eixo, então podemos somar as contribuições vetoriais diretamente.
Passo 4
Vamos calcular o campo elétrico . A distância do elemento ao ponto de observação será uma função de . Supondo que o ponto de observação está a uma distância do início do fio, temos:
Então, substituindo na expressão de :
O campo total será a integral de de a :
Passo 5
Vamos resolver essa integral. Vamos fazer uma substituição para simplificar:
Quando , ; quando , . A integral fica:
Resolvendo as integrais:
Então:
Passo 6
Simplificando mais um pouco, temos:
Esse é o campo elétrico resultante para uma densidade linear de carga .
Passo 7
Agora, vamos calcular o potencial elétrico . Sabemos que o potencial devido a um pequeno elemento de carga é:
Substituindo e :
Passo 8
Para resolver essa integral, fazemos novamente a substituição , . Assim, a integral se torna:
Resolvendo:
Resposta
Então, a solução final para a distribuição de carga não uniforme com é: