Refaça o problema supondo uma distribuição de carga não uniforme e de densidade linear de carga , onde é uma constante positiva.
b) ;
c) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de eletrostática onde precisamos recalcular o campo elétrico e o potencial elétrico considerando uma distribuição de carga que não é mais uniforme. Agora, a densidade linear de carga é dada por , onde é uma constante positiva e é a posição ao longo do fio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de integração para cargas distribuídas e as fórmulas de campo elétrico e potencial elétrico para distribuições contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma distribuição de carga linear não uniforme, o campo elétrico em um ponto devido a um pequeno elemento de carga é dado por:
Como nossa densidade de carga é , podemos expressar como .

Passo 3

Agora, vamos considerar um fio de comprimento , onde varia de a . O campo elétrico total no ponto considerado será a integral de todos os pequenos campos elétricos gerados por cada elemento do fio. Se assumirmos que o ponto onde estamos calculando o campo está no eixo do fio, a direção do campo é ao longo desse eixo, então podemos somar as contribuições vetoriais diretamente.

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico . A distância do elemento ao ponto de observação será uma função de . Supondo que o ponto de observação está a uma distância do início do fio, temos:
Então, substituindo na expressão de :
O campo total será a integral de de a :

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Vamos fazer uma substituição para simplificar:
Quando , ; quando , . A integral fica:
Resolvendo as integrais:
Então:

Passo 6

Simplificando mais um pouco, temos:
Esse é o campo elétrico resultante para uma densidade linear de carga .

Passo 7

Agora, vamos calcular o potencial elétrico . Sabemos que o potencial devido a um pequeno elemento de carga é:
Substituindo e :

Passo 8

Para resolver essa integral, fazemos novamente a substituição , . Assim, a integral se torna:
Resolvendo:

Resposta

Então, a solução final para a distribuição de carga não uniforme com é:
a) Campo elétrico:
b) Potencial elétrico:

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Calcule as integrais definidas a seguir:
.
Determine a equação do plano tangente da seguinte função
no ponto .
Consideremos dois planos infinitos, paralelos, de carga, um coincidente com o plano yz e o outro a uma distância . Calcular o potencial em qualquer ponto do espaço, com em e com os planos com densidades de cargas positivas iguais a . R para para para