Refaça o problema supondo uma distribuição de carga não uniforme e de densidade linear de carga lambda=Cx, onde C é uma constante positiva.
R: a) E=Q4 pi varepsilon0 L(1x-1L+x) i
b) V(r)=q4 pi varepsilono L ln (1+La);
c) V(r)=C4 pi varepsilono[L-a ln (L+aa)].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de eletrostática onde precisamos recalcular o campo elétrico e o potencial elétrico considerando uma distribuição de carga que não é mais uniforme. Agora, a densidade linear de carga é dada por lambda = Cx, onde C é uma constante positiva e x é a posição ao longo do fio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de integração para cargas distribuídas e as fórmulas de campo elétrico E e potencial elétrico V para distribuições contínuas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma distribuição de carga linear não uniforme, o campo elétrico em um ponto devido a um pequeno elemento de carga dq é dado por:
dE = 14pivarepsilon0 dqr^2 r
Como nossa densidade de carga é lambda = Cx, podemos expressar dq como dq = lambda dx = Cx , dx.

Passo 3

Agora, vamos considerar um fio de comprimento L, onde x varia de 0 a L. O campo elétrico total no ponto considerado será a integral de todos os pequenos campos elétricos dE gerados por cada elemento dq do fio. Se assumirmos que o ponto onde estamos calculando o campo está no eixo do fio, a direção do campo é ao longo desse eixo, então podemos somar as contribuições vetoriais diretamente.

Passo 4

Vamos calcular o campo elétrico E. A distância r do elemento dq ao ponto de observação será uma função de x. Supondo que o ponto de observação está a uma distância a do início do fio, temos:
r = a + x
Então, substituindo na expressão de dE:
dE = 14pivarepsilon0 Cx , dx(a + x)^2
O campo total E será a integral de dE de x = 0 a x = L:
E = C4pivarepsilon0 integral0^L x(a + x)^2 dx

Passo 5

Vamos resolver essa integral. Vamos fazer uma substituição para simplificar:
u = a + x Rightarrow du = dx
Quando x = 0, u = a; quando x = L, u = a + L. A integral fica:
E = C4pivarepsilon0 integrala^a+L u - au^2 du = C4pivarepsilon0 ( integrala^a+L 1u du - a integrala^a+L 1u^2 du )
Resolvendo as integrais:
integral 1u du = ln u integral 1u^2 du = -1u
Então:
E = C4pivarepsilon0 [ ln(u) |a^a+L - a ( -1u |a^a+L ) ] = C4pivarepsilon0 [ ln(a+L) - ln(a) + a ( 1a - 1a+L ) ] = C4pivarepsilon0 [ ln(a+La) + 1 - aa+L ]

Passo 6

Simplificando mais um pouco, temos:
E = C4pivarepsilon0 [ ln(1 + La) + La+L ]
Esse é o campo elétrico resultante para uma densidade linear de carga lambda = Cx.

Passo 7

Agora, vamos calcular o potencial elétrico V(r). Sabemos que o potencial devido a um pequeno elemento de carga dq é:
dV = 14pivarepsilon0 dqr
Substituindo dq = Cx , dx e r = a + x:
V = C4pivarepsilon0 integral0^L xa + x dx

Passo 8

Para resolver essa integral, fazemos novamente a substituição u = a + x, du = dx. Assim, a integral se torna:
V = C4pivarepsilon0 integrala^a+L u - au du = C4pivarepsilon0 ( integrala^a+L 1 du - a integrala^a+L 1u du )
Resolvendo:
V = C4pivarepsilon0 [ (u) |a^a+L - a ln(u) |a^a+L ] = C4pivarepsilon0 [ L - a ln(a+La) ]

Resposta

Então, a solução final para a distribuição de carga não uniforme com lambda = Cx é:
a) Campo elétrico:
E = C4pivarepsilon0 [ ln(1 + La) + La+L ] i
b) Potencial elétrico:
V(r) = C4pivarepsilon0 [ L - a ln(L+aa) ]

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