Refaça o problema supondo uma distribuição de carga não uniforme e de densidade linear de carga , onde é uma constante positiva.
b) ;
c) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de eletrostática onde precisamos recalcular o campo elétrico e o potencial elétrico considerando uma distribuição de carga que não é mais uniforme. Agora, a densidade linear de carga é dada por , onde é uma constante positiva e é a posição ao longo do fio. Para resolver isso, vamos usar conceitos de integração para cargas distribuídas e as fórmulas de campo elétrico e potencial elétrico para distribuições contínuas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma distribuição de carga linear não uniforme, o campo elétrico em um ponto devido a um pequeno elemento de carga é dado por:
Como nossa densidade de carga é , podemos expressar como .
Passo 3
Agora, vamos considerar um fio de comprimento , onde varia de a . O campo elétrico total no ponto considerado será a integral de todos os pequenos campos elétricos gerados por cada elemento do fio. Se assumirmos que o ponto onde estamos calculando o campo está no eixo do fio, a direção do campo é ao longo desse eixo, então podemos somar as contribuições vetoriais diretamente.
Passo 4
Vamos calcular o campo elétrico . A distância do elemento ao ponto de observação será uma função de . Supondo que o ponto de observação está a uma distância do início do fio, temos:
Então, substituindo na expressão de :
O campo total será a integral de de a :
Passo 5
Vamos resolver essa integral. Vamos fazer uma substituição para simplificar:
Quando , ; quando , . A integral fica:
Resolvendo as integrais:
Então:
Passo 6
Simplificando mais um pouco, temos:
E = C4pivarepsilon0 [ ln(1 + La) + La+L ]
Esse é o campo elétrico resultante para uma densidade linear de carga lambda = Cx.
Passo 7
Agora, vamos calcular o potencial elétrico V(r). Sabemos que o potencial devido a um pequeno elemento de carga dq é:
dV = 14pivarepsilon0 dqr
Substituindo dq = Cx , dx e r = a + x:
V = C4pivarepsilon0 integral0^L xa + x dx
Passo 8
Para resolver essa integral, fazemos novamente a substituição u = a + x, du = dx. Assim, a integral se torna:
V = C4pivarepsilon0 integrala^a+L u - au du = C4pivarepsilon0 ( integrala^a+L 1 du - a integrala^a+L 1u du )
Resolvendo:
V = C4pivarepsilon0 [ (u) |a^a+L - a ln(u) |a^a+L ] = C4pivarepsilon0 [ L - a ln(a+La) ]
Resposta
Então, a solução final para a distribuição de carga não uniforme com lambda = Cx é: