Encontre . Para quais valores de a curva é concava pra cima?
b. e

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a primeira e a segunda derivada de em relação a , ou seja, e . Além disso, quer saber para quais valores de a curva é côncava para cima. Para resolver isso, vamos trabalhar com equações paramétricas, onde e são expressos em função de um parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos e em função de , podemos encontrar usando a fórmula:
Então, precisamos calcular e .

Passo 3

Vamos calcular . Dada a função , derivamos em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular . Dada a função , derivamos em relação a :

Passo 5

Com e , substituímos na fórmula de :

Passo 6

Para encontrar a segunda derivada , usamos a fórmula:
Isso significa que precisamos derivar em relação a e depois dividir pelo .

Passo 7

Vamos derivar em relação a . Usamos a regra do quociente:
Simplificando:

Passo 8

Agora, usamos essa derivada para encontrar :

Passo 9

Para determinar onde a curva é côncava para cima, precisamos que a segunda derivada seja positiva:
Então, vamos analisar o sinal de .
Sabemos que para todo , com igualdade apenas em , pela desigualdade de AM-GM. Assim, .
O denominador é positivo quando , ou seja, quando , o que ocorre para . E é negativo para .
Então, a fração será positiva quando o numerador e o denominador tiverem o mesmo sinal:
  • Para : Numerador e denominador
  • Para : Numerador e denominador

Resposta

A curva é côncava para cima para todos os valores de .

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