Encontre
. Para quais valores de
a curva é concava pra cima?
b.
e
b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a primeira e a segunda derivada de
em relação a
, ou seja,
e
. Além disso, quer saber para quais valores de
a curva é côncava para cima. Para resolver isso, vamos trabalhar com equações paramétricas, onde
e
são expressos em função de um parâmetro
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando temos
e
em função de
, podemos encontrar
usando a fórmula:
Então, precisamos calcular
e
.
Passo 3
Vamos calcular
. Dada a função
, derivamos em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Dada a função
, derivamos em relação a
:
Passo 5
Com
e
, substituímos na fórmula de
:
Passo 6
Para encontrar a segunda derivada
, usamos a fórmula:
Isso significa que precisamos derivar
em relação a
e depois dividir pelo
.
Passo 7
Vamos derivar
em relação a
. Usamos a regra do quociente:
Simplificando:
Passo 8
Agora, usamos essa derivada para encontrar
:
Passo 9
Para determinar onde a curva é côncava para cima, precisamos que a segunda derivada seja positiva:
Então, vamos analisar o sinal de
.
Sabemos que
para todo
, com igualdade apenas em
, pela desigualdade de AM-GM. Assim,
.
O denominador
é positivo quando
, ou seja, quando
, o que ocorre para
. E é negativo para
.
Então, a fração será positiva quando o numerador e o denominador tiverem o mesmo sinal:
- Para
: Numerador e denominador ⇒ - Para
: Numerador e denominador ⇒
Resposta
A curva é côncava para cima para todos os valores de
.
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a. sem eliminar o parametro,
i. e
a. sem eliminar o parametro,
i.
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. Calcular o potencial em qualquer ponto do espaço, com
em
e com os planos com densidades de cargas positivas iguais a
. R
para
para
para
Supondo
e ligando a esfera à casca por um fio longo e condutor, explique como ficará a distribuição de cargas na esfera e na casca esférica. R: a)
; b) q fluirá da esfera para a casca.
Faça o que se pede.
(a) Encontre um equação para a reta que passa pelos pontos e
.
(a) Encontre um equação para a reta que passa pelos pontos