Encontre d yd x e d^2 yd x^2. Para quais valores de t a curva é concava pra cima?
b. x=t-e^t e y=t+e^-t

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer encontrar a primeira e a segunda derivada de em relação a , ou seja, e . Além disso, quer saber para quais valores de a curva é côncava para cima. Para resolver isso, vamos trabalhar com equações paramétricas, onde e são expressos em função de um parâmetro .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando temos dydx = dydtdxdt e em função de , podemos encontrar usando a fórmula:
Então, precisamos calcular e .

Passo 3

Vamos calcular dxdt = ddt(t) - ddt(e^t) = 1 - e^t . Dada a função , derivamos em relação a :

Passo 4

Agora, vamos calcular dydt = ddt(t) + ddt(e^-t) = 1 - e^-t . Dada a função , derivamos em relação a :

Passo 5

Com dydx = 1 - e^-t1 - e^t e , substituímos na fórmula de :

Passo 6

Para encontrar a segunda derivada d^2ydx^2 = ddt(dydx) div dxdt , usamos a fórmula:
Isso significa que precisamos derivar em relação a e depois dividir pelo .

Passo 7

Vamos derivar ddt(1 - e^-t1 - e^t) = (0 + e^-t)(1 - e^t) - (1 - e^-t)(0 - e^t)(1 - e^t)^2 em relação a = e^-t(1 - e^t) + e^t(1 - e^-t)(1 - e^t)^2 . Usamos a regra do quociente:
= e^-t - 1 + e^t - 1(1 - e^t)^2 = e^t + e^-t - 2(1 - e^t)^2
Simplificando:

Passo 8

Agora, usamos essa derivada para encontrar d^2ydx^2 = e^t + e^-t - 2(1 - e^t)^2 div (1 - e^t) = e^t + e^-t - 2(1 - e^t)^3 :

Passo 9

Para determinar onde a curva é côncava para cima, precisamos que a segunda derivada seja positiva:
d^2ydx^2 > 0
Então, vamos analisar o sinal de .
Sabemos que para todo , com igualdade apenas em , pela desigualdade de AM-GM. Assim, .
O denominador é positivo quando , ou seja, quando , o que ocorre para . E é negativo para .
Então, a fração será positiva quando o numerador e o denominador tiverem o mesmo sinal:
  • Para : Numerador e denominador
  • Para : Numerador e denominador

Resposta

dydx = 1 - e^-t1 - e^t
d^2ydx^2 = e^t + e^-t - 2(1 - e^t)^3
A curva é côncava para cima para todos os valores de .

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