Determine a equação do plano tangente da seguinte função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação do plano tangente da função
no ponto
. Isso envolve Cálculo Diferencial, especificamente o uso de derivadas parciais para achar a inclinação do plano tangente. Precisaremos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, e então usar essas informações para montar a equação do plano.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
para saber a coordenada
do ponto. Substituindo
e
na função:
Então, o ponto é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Primeira, a derivada parcial em relação a
:
Usamos a regra do produto:
Segunda, a derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas no ponto
.
Para
:
Para
:
Passo 5
Com as derivadas parciais encontradas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Onde
é o ponto de tangência, que no nosso caso é
.
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar a equação:
Resposta
A equação do plano tangente é
.