Determine a equação do plano tangente da seguinte função
f(x, y)=x e^x^2-y^2
no ponto (2,2, f(2,2)).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação do plano tangente da função no ponto . Isso envolve Cálculo Diferencial, especificamente o uso de derivadas parciais para achar a inclinação do plano tangente. Precisaremos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e então usar essas informações para montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular f(2, 2) = 2 cdot e^2^2 - 2^2 = 2 cdot e^4 - 4 = 2 cdot e^0 = 2 cdot 1 = 2 para saber a coordenada do ponto. Substituindo e na função:
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de fx = partialpartial x ( x e^x^2 - y^2 ) em relação a fx = e^x^2 - y^2 + x cdot e^x^2 - y^2 cdot 2x = e^x^2 - y^2 (1 + 2x^2) e fy = partialpartial y ( x e^x^2 - y^2 ) = x cdot e^x^2 - y^2 cdot (-2y) = -2xy e^x^2 - y^2 .
Primeira, a derivada parcial em relação a :
Usamos a regra do produto:
Segunda, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas no ponto fx(2, 2) = e^2^2 - 2^2 (1 + 2 cdot 2^2) = e^0 (1 + 8) = 1 cdot 9 = 9 .
Para fy(2, 2) = -2 cdot 2 cdot 2 cdot e^2^2 - 2^2 = -8 cdot e^0 = -8 cdot 1 = -8 :
Para :

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
z = f(a, b) + fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b)
Onde z = 2 + 9(x - 2) - 8(y - 2) é o ponto de tangência, que no nosso caso é .
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação:
z = 2 + 9x - 18 - 8y + 16
z = 9x - 8y + (2 - 18 + 16)
z = 9x - 8y + 0
z = 9x - 8y

Resposta

A equação do plano tangente é .

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