Determine a equação do plano tangente da seguinte função
no ponto .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a equação do plano tangente da função no ponto . Isso envolve Cálculo Diferencial, especificamente o uso de derivadas parciais para achar a inclinação do plano tangente. Precisaremos calcular as derivadas parciais de em relação a e , e então usar essas informações para montar a equação do plano.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular para saber a coordenada do ponto. Substituindo e na função:
Então, o ponto é .

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
Primeira, a derivada parcial em relação a :
Usamos a regra do produto:
Segunda, a derivada parcial em relação a :

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas no ponto .
Para :
Para :

Passo 5

Com as derivadas parciais encontradas, podemos escrever a equação do plano tangente usando a fórmula:
Onde é o ponto de tangência, que no nosso caso é .
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar a equação:

Resposta

A equação do plano tangente é .

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