Consideremos a EDO não homogênea
a y'' + b y' + c y = f
onde a, b, c são constantes e
f(t) = sen(ω t) ou f(t) = cos(ω t)
onde omega é um parâmetro real tal que
p(i omega) != 0
e p(X) = a X^2 + b X + c. Observando que
e^(omega t i) = cos(omega t) + i sen(omega t)
temos que as partes real e imaginária são respectivamente.
Re(e^(omega t i)) = cos(omega t) e Im(e^(omega t i)) = sen(omega t)
Considere então a equação
a y'' + b y' + c y = e^(ω t i) = cos(ω t) + i sen(ω t)
onde agora y é função complexa de variável real t. Seja y solução desta equação. Escrevendo
y(t) = u(t) + i v(t)
mostre que u(t) é solução de
a y'' + b y' + c y = cos(ω t)
e v(t) é solução de
a y'' + b y' + c y = sen(ω t)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem não homogênea do tipo:
onde são constantes e pode ser ou . A gente vai usar a teoria de números complexos e as funções trigonométricas para mostrar que, se a solução for uma função complexa, suas partes real e imaginária resolvem as equações com e , respectivamente.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação com a função exponencial complexa usando a fórmula de Euler:
Isso nos ajuda a lidar com a parte oscilatória da equação de forma mais fácil.

Passo 3

Substituímos pela exponencial complexa na equação diferencial:
Aqui, é uma função complexa, ou seja, pode ser escrita como , onde e são funções reais.

Passo 4

Vamos substituir na equação diferencial:
Isso resulta em:

Passo 5

Para que essa igualdade seja verdadeira para todas as vezes , as partes reais e imaginárias dos dois lados devem ser iguais. Ou seja:
e

Resposta

Assim, mostramos que é solução da equação
e é solução da equação

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