Consideremos a EDO não homogênea
onde
são constantes e
onde
é um parâmetro real tal que
e
. Observando que
temos que as partes real e imaginária são respectivamente.
Considere então a equação
onde agora
é função complexa de variável real
. Seja
solução desta equação. Escrevendo
mostre que
é solução de
e
é solução de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação diferencial de segunda ordem não homogênea do tipo:
onde
são constantes e
pode ser
ou
. A gente vai usar a teoria de números complexos e as funções trigonométricas para mostrar que, se a solução
for uma função complexa, suas partes real e imaginária resolvem as equações com
e
, respectivamente.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação com a função exponencial complexa usando a fórmula de Euler:
Isso nos ajuda a lidar com a parte oscilatória da equação de forma mais fácil.
Passo 3
Substituímos
pela exponencial complexa na equação diferencial:
Aqui,
é uma função complexa, ou seja, pode ser escrita como
, onde
e
são funções reais.
Passo 4
Vamos substituir
na equação diferencial:
Isso resulta em:
Passo 5
Para que essa igualdade seja verdadeira para todas as vezes
, as partes reais e imaginárias dos dois lados devem ser iguais. Ou seja:
e
Resposta
Assim, mostramos que
é solução da equação
e
é solução da equação