Determine uma solução particular para
y'' + 2y' + 5y = sen(t)
usando o método da exponencial complexa.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Estamos no campo das equações diferenciais lineares e vamos usar o método da exponencial complexa para encontrar uma solução particular. Para isso, precisamos entender como representar funções trigonométricas usando exponenciais complexas e aplicar isso na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que podemos expressar a função seno usando números complexos. Sabemos que:
Isso vai facilitar a resolução porque trabalharemos com exponenciais, que são mais fáceis de manipular em cálculos.

Passo 3

Vamos supor que a solução particular tem a forma de uma combinação de exponenciais complexas:
onde e são constantes que vamos determinar.

Passo 4

Agora, precisamos calcular as derivadas de :

Passo 5

Substituímos , e na equação diferencial original:

Passo 6

Simplificando os termos:

Passo 7

Para que as equações sejam iguais para todos os , os coeficientes das exponenciais devem ser iguais. Porém, no lado direito temos apenas , que corresponde à parte imaginária das exponenciais. Portanto, igualamos apenas as partes imaginárias:

Passo 8

Resolvendo para :
Resolvendo para :

Passo 9

Agora, substituímos e na expressão de :

Passo 10

Reconhecendo que:
Substituindo na expressão:

Resposta

A solução particular da equação é:

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