Determine uma solução particular para
usando o método da exponencial complexa.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem:
Estamos no campo das equações diferenciais lineares e vamos usar o método da exponencial complexa para encontrar uma solução particular. Para isso, precisamos entender como representar funções trigonométricas usando exponenciais complexas e aplicar isso na equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que podemos expressar a função seno usando números complexos. Sabemos que:
Isso vai facilitar a resolução porque trabalharemos com exponenciais, que são mais fáceis de manipular em cálculos.
Passo 3
Vamos supor que a solução particular
tem a forma de uma combinação de exponenciais complexas:
onde
e
são constantes que vamos determinar.
Passo 4
Agora, precisamos calcular as derivadas de
:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 6
Simplificando os termos:
Passo 7
Para que as equações sejam iguais para todos os
, os coeficientes das exponenciais devem ser iguais. Porém, no lado direito temos apenas , que corresponde à parte imaginária das exponenciais. Portanto, igualamos apenas as partes imaginárias:
Passo 8
Resolvendo para
:
Resolvendo para
:
Passo 9
Agora, substituímos
e
na expressão de
:
Passo 10
Reconhecendo que:
Substituindo na expressão:
Resposta
A solução particular da equação é: