Dadas as matrizes,
M=[cc x & y z & w ] ; N=[cc x & 6 -1 & 2 w ] P=[cc 4 & x+y z+w & 3 ]
Sabendo que 3 M=N+P, calcule o valor das incógnitas x, y, z, w.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três matrizes:
M=[cc x & y z & w ], N=[cc x & 6 -1 & 2w ], P=[cc 4 & x+y z+w & 3 ]
E a gente sabe que 3M = N + P. Nosso objetivo aqui é descobrir os valores das incógnitas x, y, z, w. Para isso, vamos usar conhecimentos de operações com matrizes e sistemas de equações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa 3M. Isso quer dizer que cada elemento da matriz M é multiplicado por 3:
3M = 3 cdot [cc x & y z & w ] = [cc 3x & 3y 3z & 3w ]

Passo 3

Agora, vamos somar as matrizes N e P:
N + P = [cc x & 6 -1 & 2w ] + [cc 4 & x+y z+w & 3 ] = [cc x + 4 & 6 + x + y -1 + z + w & 2w + 3 ]

Passo 4

Segundo a equação dada, 3M = N + P. Então, podemos igualar os elementos correspondentes das duas matrizes:
[cc 3x & 3y 3z & 3w ] = [cc x + 4 & 6 + x + y -1 + z + w & 2w + 3 ]
Isso nos dá um sistema de equações:
  1. 3x = x + 4
  2. 3y = 6 + x + y
  3. 3z = -1 + z + w
  4. 3w = 2w + 3

Passo 5

Vamos resolver cada equação uma por uma.
Primeira Equação:
3x = x + 4
Subtraindo x dos dois lados:
2x = 4 Rightarrow x = 2

Passo 6

Segunda Equação:
3y = 6 + x + y
Sabemos que x = 2, então substituímos:
3y = 6 + 2 + y Rightarrow 3y = 8 + y
Subtraindo y dos dois lados:
2y = 8 Rightarrow y = 4

Passo 7

Terceira Equação:
3z = -1 + z + w
Subtraindo z dos dois lados:
2z = -1 + w Rightarrow w = 2z + 1

Passo 8

Quarta Equação:
3w = 2w + 3
Subtraindo 2w dos dois lados:
w = 3

Passo 9

Agora que sabemos que w = 3, podemos usar a relação da terceira equação para encontrar z:
w = 2z + 1 Rightarrow 3 = 2z + 1
Subtraindo 1 dos dois lados:
2z = 2 Rightarrow z = 1

Resposta

As soluções das incógnitas são:
x = 2, y = 4, z = 1, w = 3

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