Usando algoritmo de Euclides, justifique que todo número inteiro
pode ser representado da forma
se for par e
se for ímpar.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para mostrar que qualquer número inteiro
pode ser escrito como
se for par ou
se for ímpar, usando o algoritmo de Euclides. Vamos precisar entender o que é o algoritmo de Euclides e como ele pode ser aplicado para dividir um número por 2.
Passo 2
Primeiro, o algoritmo de Euclides é uma maneira de encontrar o máximo divisor comum (MDC) de dois números inteiros. Mas, no nosso caso, vamos usar a ideia principal do algoritmo: a divisão com resto. Queremos dividir o número
por 2 e ver qual é o resto dessa divisão.
Passo 3
Quando dividimos
por 2, podemos escrever:
onde:
-
é o quociente (a parte inteira da divisão) -
é o resto, que pode ser 0 ou 1 porque estamos dividindo por 2.
Passo 4
Agora, vamos analisar os dois casos possíveis para o resto
:
-
Se
: Simplificando:Isso significa queé um número par. -
Se
: Isso indica queé um número ímpar.
Passo 5
Então, de acordo com a divisão que fizemos, todo número inteiro
se encaixa em um desses dois casos. Ou seja, ele pode ser escrito como
se for par ou como
se for ímpar.
Resposta
Portanto, usando o algoritmo de Euclides para dividir
por 2, mostramos que todo número inteiro
pode ser representado como
se for par e
se for ímpar.