Usando algoritmo de Euclides, justifique que todo número inteiro pode ser representado da forma se for par e se for ímpar.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado está pedindo para mostrar que qualquer número inteiro pode ser escrito como se for par ou se for ímpar, usando o algoritmo de Euclides. Vamos precisar entender o que é o algoritmo de Euclides e como ele pode ser aplicado para dividir um número por 2.

Passo 2

Primeiro, o algoritmo de Euclides é uma maneira de encontrar o máximo divisor comum (MDC) de dois números inteiros. Mas, no nosso caso, vamos usar a ideia principal do algoritmo: a divisão com resto. Queremos dividir o número por 2 e ver qual é o resto dessa divisão.

Passo 3

Quando dividimos por 2, podemos escrever:
onde:
  • é o quociente (a parte inteira da divisão)
  • é o resto, que pode ser 0 ou 1 porque estamos dividindo por 2.

Passo 4

Agora, vamos analisar os dois casos possíveis para o resto :
  1. Se :
    Simplificando:
    Isso significa que é um número par.
  2. Se :
    Isso indica que é um número ímpar.

Passo 5

Então, de acordo com a divisão que fizemos, todo número inteiro se encaixa em um desses dois casos. Ou seja, ele pode ser escrito como se for par ou como se for ímpar.

Resposta

Portanto, usando o algoritmo de Euclides para dividir por 2, mostramos que todo número inteiro pode ser representado como se for par e se for ímpar.

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Sejam e matrizes do espaço vetorial . Considere o produto interno , onde denota a matriz transposta de . Sendo e . Calcule , e .
Seja A uma matriz quadrada de ordem .
(a) Mostre que é simétrica.
(b) Mostre que é antissimétrica.
© Demonstre que pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e de uma matriz antissimétrica , ou seja, .
(d) Escreva a matriz abaixo como a soma de uma matriz simétrica e uma matriz antissimétrica:
Sendo , então podemos afirmar que:
(a) é uma matriz quadrada de ordem 4 ;
(b) é uma matriz diagonal;
©
(d) ;
(e) A matriz inversa de é .
Justifique todos os itens acima.
Consideremos o espaço vetorial . Sendo e , determine um vetor deste espaço vetorial tal que , em relação ao produto internousual.