Sendo
, então podemos afirmar que:
(a)
é uma matriz quadrada de ordem 4 ;
(b)
é uma matriz diagonal;
©
(d)
;
(e) A matriz inversa de
é
.
Justifique todos os itens acima.
(a)
(b)
©
(d)
(e) A matriz inversa de
Justifique todos os itens acima.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz
e pergunta sobre algumas propriedades dela. A gente precisa analisar cada afirmação (a) a (e) e justificar se estão certas ou erradas. Para isso, vamos precisar conhecer o que são matriz quadrada, matriz diagonal, potência de uma matriz, transposta de uma matriz e a matriz inversa.
Passo 2
Item (a):
é uma matriz quadrada de ordem 4.
Uma matriz quadrada é aquela que tem o mesmo número de linhas e colunas. A ordem da matriz é esse número. Aqui,
tem 2 linhas e 2 colunas, então é uma matriz quadrada de ordem 2, não 4.
Resposta: Errado.
é uma matriz quadrada de ordem 2.
Passo 3
Item (b):
é uma matriz diagonal.
Uma matriz diagonal tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero. Olhando para
:
Os elementos fora da diagonal principal são -5 e -1, que não são zero. Portanto,
não é uma matriz diagonal.
Resposta: Errado.
não é uma matriz diagonal.
Passo 4
Item ©:
Vamos calcular
, ou seja, multiplicar
por ela mesma:
Comparando com o que foi dado:
Resposta: Errado.
.
Passo 5
Item (d):
A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Vamos calcular
:
Agora, vamos ver
:
Comparando
com
:
Resposta: Errado.
.
Passo 6
Item (e): A matriz inversa de
é
Para encontrar a matriz inversa, primeiro calculamos o determinante de
:
A matriz inversa é dada por
multiplicado pela matriz adjunta. A adjunta de
é:
Então,
Resposta: Correto.
.
Resposta
Das afirmativas apresentadas, apenas o item (e) está correto. Os itens (a), (b), © e (d) estão errados.
Exercícios relacionados
Usando algoritmo de Euclides, justifique que todo número inteiro
pode ser representado da forma
se for par e
se for ímpar.
Sejam
e
matrizes do espaço vetorial
. Considere o produto interno
, onde
denota a matriz transposta de
. Sendo
e
. Calcule
,
e
.
Consideremos o espaço vetorial
. Sendo
e
, determine um vetor
deste espaço vetorial tal que
, em relação ao produto internousual.
) Demonstre por indução que:
a) , com
b) , com
a)
b)