Sendo X=[cc2 & -5 -1 & 2], então podemos afirmar que:
(a) X é uma matriz quadrada de ordem 4 ;
(b) X é uma matriz diagonal;
© X^2=[cc4 & 25 1 & 4]
(d) X^T=-X;
(e) A matriz inversa de X é X^-1=[ll-2 & -5 -1 & -2].
Justifique todos os itens acima.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma matriz 2 & -5 -1 & 2 e pergunta sobre algumas propriedades dela. A gente precisa analisar cada afirmação (a) a (e) e justificar se estão certas ou erradas. Para isso, vamos precisar conhecer o que são matriz quadrada, matriz diagonal, potência de uma matriz, transposta de uma matriz e a matriz inversa.

Passo 2

Item (a): é uma matriz quadrada de ordem 4.
Uma matriz quadrada é aquela que tem o mesmo número de linhas e colunas. A ordem da matriz é esse número. Aqui, tem 2 linhas e 2 colunas, então é uma matriz quadrada de ordem 2, não 4.
Resposta: Errado. é uma matriz quadrada de ordem 2.

Passo 3

Item (b): X = 2 & -5 -1 & 2 é uma matriz diagonal.
Uma matriz diagonal tem todos os elementos fora da diagonal principal iguais a zero. Olhando para :
Os elementos fora da diagonal principal são -5 e -1, que não são zero. Portanto, não é uma matriz diagonal.
Resposta: Errado. não é uma matriz diagonal.

Passo 4

Item ©: 4 & 25 1 & 4
Vamos calcular X times X = 2 & -5 -1 & 2 times 2 & -5 -1 & 2 = (2 times 2) + (-5 times -1) & (2 times -5) + (-5 times 2) (-1 times 2) + (2 times -1) & (-1 times -5) + (2 times 2) = 4 + 5 & -10 -10 -2 -2 & 5 + 4 = 9 & -20 -4 & 9 , ou seja, multiplicar 4 & 25 1 & 4 neq 9 & -20 -4 & 9 por ela mesma:
9 & -20 -4 & 9
Comparando com o que foi dado:
Resposta: Errado. .

Passo 5

Item (d): X^T = 2 & -1 -5 & 2
A transposta de uma matriz é obtida trocando suas linhas por colunas. Vamos calcular - X = -2 & 5 1 & -2 :
2 & -1 -5 & 2 neq -2 & 5 1 & -2
Agora, vamos ver :
Comparando com :
Resposta: Errado. .

Passo 6

Item (e): A matriz inversa de -2 & -5 -1 & -2 é det(X) = (2)(2) - (-5)(-1) = 4 - 5 = -1
Para encontrar a matriz inversa, primeiro calculamos o determinante de adj(X) = 2 & 5 1 & 2 :
X^-1 = 1-1 times 2 & 5 1 & 2 = -2 & -5 -1 & -2
A matriz inversa é dada por -2 & -5 -1 & -2 multiplicado pela matriz adjunta. A adjunta de é:
Então,
Resposta: Correto. .

Resposta

Das afirmativas apresentadas, apenas o item (e) está correto. Os itens (a), (b), © e (d) estão errados.

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