Consideremos o espaço vetorial real
munido do produto interno usual e
Encontre o subespaço vetorial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o complemento ortogonal de um subespaço vetorial
no espaço
com o produto interno usual. Basicamente, a gente vai precisar entender o que é complemento ortogonal e como encontrar todos os vetores que são “perpendiculares” a
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um complemento ortogonal. Dado um subespaço
, o complemento ortogonal
é o conjunto de todos os vetores em
que são ortogonais a todos os vetores de
. Ou seja, se você pegar qualquer vetor de
e fazer o produto interno com qualquer vetor de
, o resultado vai ser zero.
Passo 3
Agora, vamos olhar para a definição de
. Ele é definido por:
Isso significa que
é um plano no espaço tridimensional, onde qualquer vetor nesse plano satisfaz a equação
.
Passo 4
Para encontrar
, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a todos os vetores em
. Uma maneira fácil de fazer isso é observar o coeficiente da equação que define
. A equação
aponta na direção do vetor normal ao plano, que é
.
Passo 5
Assim, qualquer vetor que seja múltiplo escalar do vetor normal
será ortogonal a
. Isso porque, pelo produto interno, se a gente multiplicar esse vetor com qualquer vetor de
, vai dar zero:
E isso valida que
está de fato no complemento ortogonal.
Resposta
Portanto, o complemento ortogonal
é o conjunto de todos os múltiplos do vetor
. Em termos matemáticos: