Consideremos o espaço vetorial real R^3 munido do produto interno usual e
U=(x, y, z) in R^3, x-y-z=0
Encontre o subespaço vetorial U^perp.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o complemento ortogonal de um subespaço vetorial U no espaço R^3 com o produto interno usual. Basicamente, a gente vai precisar entender o que é complemento ortogonal e como encontrar todos os vetores que são “perpendiculares” a U.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um complemento ortogonal. Dado um subespaço U, o complemento ortogonal U^perp é o conjunto de todos os vetores em R^3 que são ortogonais a todos os vetores de U. Ou seja, se você pegar qualquer vetor de U^perp e fazer o produto interno com qualquer vetor de U, o resultado vai ser zero.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a definição de U. Ele é definido por:
U = (x, y, z) in R^3 mid x - y - z = 0
Isso significa que U é um plano no espaço tridimensional, onde qualquer vetor nesse plano satisfaz a equação x - y - z = 0.

Passo 4

Para encontrar U^perp, precisamos encontrar um vetor que seja perpendicular a todos os vetores em U. Uma maneira fácil de fazer isso é observar o coeficiente da equação que define U. A equação x - y - z = 0 aponta na direção do vetor normal ao plano, que é (1, -1, -1).

Passo 5

Assim, qualquer vetor que seja múltiplo escalar do vetor normal (1, -1, -1) será ortogonal a U. Isso porque, pelo produto interno, se a gente multiplicar esse vetor com qualquer vetor de U, vai dar zero:
(1, -1, -1) cdot (x, y, z) = 1 cdot x + (-1) cdot y + (-1) cdot z = x - y - z = 0
E isso valida que (1, -1, -1) está de fato no complemento ortogonal.

Resposta

Portanto, o complemento ortogonal U^perp é o conjunto de todos os múltiplos do vetor (1, -1, -1). Em termos matemáticos:
U^perp = k cdot (1, -1, -1) mid k in R

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