Seja
o subespaço de
dado pela equação
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está nos pedindo. Temos um subespaço
de
definido pela equação
. O que queremos descobrir é o complemento ortogonal desse subespaço, chamado
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um complemento ortogonal e como encontrar vetores que são perpendiculares a outros vetores no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal
. Em termos simples,
é o conjunto de todos os vetores no espaço
que são perpendiculares a todos os vetores em
. Ou seja, se a gente tem um vetor qualquer em
, o produto escalar desse vetor com qualquer vetor de
deve ser zero.
Passo 3
Agora, vamos encontrar um vetor que pertence a
. A equação
nos diz que para qualquer valor de
, o correspondente valor de
é
. Então, um vetor típico em
pode ser escrito como
, que também podemos representar como
. Isso significa que a direção de
é determinada pelo vetor
.
Passo 4
Para achar vetores que são perpendiculares a
, precisamos encontrar vetores
tais que o produto escalar com
seja zero. O produto escalar é dado por:
Então, temos a equação:
Resolvendo para
, temos
. Isso significa que qualquer vetor perpendicular a
pode ser escrito como
, ou de forma simplificada,
. Assim, todos os vetores em
têm a forma
, onde
é um número real.
Resposta
Portanto, o complemento ortogonal de
é dado por:
Ou seja, a equação que representa
é
.