Seja U o subespaço de R^2 dado pela equação y=2 x. Determine U^perp.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está nos pedindo. Temos um subespaço de definido pela equação . O que queremos descobrir é o complemento ortogonal desse subespaço, chamado . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um complemento ortogonal e como encontrar vetores que são perpendiculares a outros vetores no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal . Em termos simples, é o conjunto de todos os vetores no espaço que são perpendiculares a todos os vetores em . Ou seja, se a gente tem um vetor qualquer em , o produto escalar desse vetor com qualquer vetor de deve ser zero.

Passo 3

Agora, vamos encontrar um vetor que pertence a . A equação nos diz que para qualquer valor de , o correspondente valor de é . Então, um vetor típico em pode ser escrito como , que também podemos representar como . Isso significa que a direção de é determinada pelo vetor .

Passo 4

Para achar vetores que são perpendiculares a (1, 2) cdot (a, b) = 1 cdot a + 2 cdot b = 0 , precisamos encontrar vetores a + 2b = 0 tais que o produto escalar com seja zero. O produto escalar é dado por:
Então, temos a equação:
Resolvendo para , temos . Isso significa que qualquer vetor perpendicular a pode ser escrito como , ou de forma simplificada, . Assim, todos os vetores em têm a forma , onde é um número real.

Resposta

Portanto, o complemento ortogonal de U^perp = , (x, -2x) mid x in R , é dado por:
Ou seja, a equação que representa é .

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