Seja o subespaço de dado pela equação . Determine .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a pergunta está nos pedindo. Temos um subespaço de definido pela equação . O que queremos descobrir é o complemento ortogonal desse subespaço, chamado . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um complemento ortogonal e como encontrar vetores que são perpendiculares a outros vetores no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o complemento ortogonal . Em termos simples, é o conjunto de todos os vetores no espaço que são perpendiculares a todos os vetores em . Ou seja, se a gente tem um vetor qualquer em , o produto escalar desse vetor com qualquer vetor de deve ser zero.
Passo 3
Agora, vamos encontrar um vetor que pertence a . A equação nos diz que para qualquer valor de , o correspondente valor de é . Então, um vetor típico em pode ser escrito como , que também podemos representar como . Isso significa que a direção de é determinada pelo vetor .
Passo 4
Para achar vetores que são perpendiculares a , precisamos encontrar vetores tais que o produto escalar com seja zero. O produto escalar é dado por:
Então, temos a equação:
Resolvendo para , temos . Isso significa que qualquer vetor perpendicular a pode ser escrito como , ou de forma simplificada, . Assim, todos os vetores em têm a forma , onde é um número real.