Resolva os seguintes sistemas lineares via escalonamento das matrizes equivalentes aos siste Gauss-Jordan). E classifique-os em possíveis determinados, possíveis indeterminados e impossíl
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações que a gente tem aqui usando o método de escalonamento de matrizes, também conhecido como método de Gauss-Jordan. As equações que você me mandou são:
x + y + z = 5 x - y = 0 y + 2z = 7
Primeiro, precisamos montar a matriz aumentada desse sistema. A matriz aumentada junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes das equações. A gente vai usar isso para aplicar as operações de linha e chegar numa forma mais simples que facilita encontrar as soluções.
Passo 2
Vamos montar a matriz aumentada. Cada linha da matriz representa uma equação do sistema:
Aqui, as colunas representam os coeficientes de , , e o termo constante após a barra.
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma escalonada reduzida por linhas, onde cada variável pode ser facilmente isolada. Para isso, vamos usar operações elementares de linha, que são:
Trocar duas linhas.
Multiplicar uma linha por um número diferente de zero.
Adicionar ou subtrair um múltiplo de uma linha a outra linha.
Vamos começar pela primeira coluna.
Passo 4
Primeiro, queremos que o primeiro elemento da primeira coluna seja 1, o que já está ok na nossa matriz. Agora, vamos zerar os elementos abaixo dele.
Subtraímos a primeira linha da segunda linha para eliminar o 1 & 1 & 1 & | & 5 0 & -2 & -1 & | & -5 0 & 1 & 2 & | & 7 da segunda equação:
Linha2 = Linha2 - Linha1
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda coluna. Queremos que o segundo elemento da segunda linha seja 1. Podemos multiplicar a segunda linha por 1 & 1 & 1 & | & 5 0 & 1 & 12 & | & 52 0 & 1 & 2 & | & 7 :
Linha2 = × Linha2
Passo 6
Agora, vamos zerar o elemento abaixo do 1 na segunda coluna. Subtraímos a segunda linha da terceira linha:
Agora, vamos tornar o terceiro elemento da terceira linha igual a 1. Multiplicamos a terceira linha por 1 & 1 & 1 & | & 5 0 & 1 & 12 & | & 52 0 & 0 & 1 & | & 3 :
Linha3 = × Linha3
Passo 8
Agora que temos a matriz na forma escalonada reduzida, podemos começar a resolver as equações de cima para baixo.
Da terceira linha, já sabemos que y + 12(3) = 52 y + 32 = 52 y = 52 - 32 = 1 .
Substituímos x + 1 + 3 = 5 x + 4 = 5 x = 1 na segunda linha:
Finalmente, substituímos e na primeira linha:
Resposta
A solução do sistema é:
x = 1, y = 1, z = 3
O sistema é determinado porque possui uma única solução.