Encontre uma base para o subespaço de consistindo em todos os vetores da forma (a+b, , b, c) , nos quais a, b, c e d são número reais. Qual a dimensão de S?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem que encontrar uma base para um subespaço de formado por vetores da forma , onde são números reais. Além disso, precisamos descobrir qual é a dimensão de .
Aqui, estamos trabalhando com álgebra linear, especificamente com subespaços vetoriais, bases e dimensão. Para resolver isso, vamos precisar entender como expressar esses vetores de forma organizada e identificar vetores que possam servir como uma base, ou seja, vetores que sejam linearmente independentes e que gerem todo o subespaço .
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever o vetor de uma maneira que fique mais fácil de trabalhar. Podemos separar os termos que multiplicam cada variável:
Aqui, estamos expressando o vetor como uma combinação linear das variáveis . Isso é útil porque nos ajuda a identificar quais vetores estão gerando o subespaço .
Passo 3
Agora, vamos identificar os vetores que estão multiplicando cada uma dessas variáveis:
Esses são os vetores geradores de . Para formar uma base, esses vetores precisam ser linearmente independentes. Ou seja, nenhuma combinação linear desses vetores pode resultar no vetor zero, a menos que todos os coeficientes sejam zero.
Passo 4
Vamos verificar se são linearmente independentes. Para isso, montamos uma matriz com esses vetores como colunas e verificamos seu determinante ou se a matriz é de posto completo.
Calculando o determinante dessa matriz:
Como a matriz não é quadrada, verificamos se as colunas são linearmente independentes observando se não há alguma coluna que possa ser escrita como combinação das outras. Nesse caso, nenhuma das colunas pode ser escrita como combinação linear das outras duas, então os vetores são linearmente independentes.
Passo 5
Como encontramos 3 vetores que são linearmente independentes e que geram o subespaço , esses vetores formam uma base para .