Dados os vetores a=(3,-2,1), b=(-1,1,-2) e c=(2,1,-3), determine as coordenadas do vetor v=(11,-6,5) na base a, b, c.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores a=(3,-2,1), b=(-1,1,-2) e c=(2,1,-3), e queremos descobrir as coordenadas do vetor v=(11,-6,5) na base formada por esses vetores. Basicamente, vamos ver como expressar v como uma combinação desses vetores da base. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e resolver para encontrar os coeficientes que fazem essa combinação funcionar.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a relação que queremos estabelecer: v = xa + yb + zc. Isso significa que:
(11, -6, 5) = x(3, -2, 1) + y(-1, 1, -2) + z(2, 1, -3)

Passo 3

Agora, vamos distribuir os escalares nos vetores:
(11, -6, 5) = (3x, -2x, x) + (-y, y, -2y) + (2z, z, -3z)

Passo 4

Em seguida, somamos as componentes correspondentes:
(11, -6, 5) = (3x - y + 2z, -2x + y + z, x - 2y - 3z)

Passo 5

Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas:
  1. 3x - y + 2z = 11
  2. -2x + y + z = -6
  3. x - 2y - 3z = 5

Passo 6

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação, podemos isolar y:
-2x + y + z = -6 Rightarrow y = 2x - z - 6

Passo 7

Agora, substituímos y na primeira e na terceira equação:
  1. 3x - (2x - z - 6) + 2z = 11
  2. x - 2(2x - z - 6) - 3z = 5

Passo 8

Simplificando a primeira equação:
3x - 2x + z + 6 + 2z = 11 Rightarrow x + 3z + 6 = 11 Rightarrow x + 3z = 5 (Equação A) çã

Passo 9

Simplificando a terceira equação:
x - 4x + 2z + 12 - 3z = 5 Rightarrow -3x - z + 12 = 5 Rightarrow -3x - z = -7 Rightarrow 3x + z = 7 (Equação B) çã

Passo 10

Agora, temos um sistema com Equação A e Equação B:
  1. x + 3z = 5
  2. 3x + z = 7
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação A por 3:
3x + 9z = 15
Subtraindo a Equação B:
(3x + 9z) - (3x + z) = 15 - 7 8z = 8 Rightarrow z = 1

Passo 11

Com z = 1, substituímos na Equação A para encontrar x:
x + 3(1) = 5 Rightarrow x = 5 - 3 Rightarrow x = 2

Passo 12

Agora, com x = 2 e z = 1, voltamos na expressão de y que havíamos encontrado:
y = 2(2) - 1 - 6 Rightarrow y = 4 - 1 - 6 Rightarrow y = -3

Resposta

As coordenadas do vetor v=(11,-6,5) na base a, b, c são (x, y, z) = (2,, -3,, 1).

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