Dados os vetores e , determine as coordenadas do vetor na base .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem três vetores , e , e queremos descobrir as coordenadas do vetor na base formada por esses vetores. Basicamente, vamos ver como expressar como uma combinação desses vetores da base. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações lineares e resolver para encontrar os coeficientes que fazem essa combinação funcionar.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a relação que queremos estabelecer: . Isso significa que:
Passo 3
Agora, vamos distribuir os escalares nos vetores:
Passo 4
Em seguida, somamos as componentes correspondentes:
Passo 5
Isso nos dá um sistema de três equações com três incógnitas:
Passo 6
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiro, da segunda equação, podemos isolar :
Passo 7
Agora, substituímos na primeira e na terceira equação:
Passo 8
Simplificando a primeira equação:
Passo 9
Simplificando a terceira equação:
Passo 10
Agora, temos um sistema com Equação A e Equação B:
Vamos resolver esse sistema. Podemos multiplicar a Equação A por 3:
Subtraindo a Equação B:
Passo 11
Com , substituímos na Equação A para encontrar :
Passo 12
Agora, com e , voltamos na expressão de que havíamos encontrado: