Determine a equação geral do plano mediador do segmento
, onde
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai resolver esse exercício que pede para encontrar a equação geral do plano mediador do segmento
, onde
e
. Isso envolve geometria espacial, mais especificamente o estudo de planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar encontrar o ponto médio do segmento
e o vetor diretor que define a orientação desse segmento.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o ponto médio do segmento
. O ponto médio
tem coordenadas que são a média das coordenadas de
e
. A fórmula para isso é:
Aplicando os valores:
Então, o ponto médio
é
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor diretor do segmento
. Esse vetor é obtido subtraindo as coordenadas de
pelas de
:
Esse vetor será o vetor normal (
) do plano mediador, já que o plano precisa ser perpendicular ao segmento
.
Passo 4
Com o ponto médio
e o vetor normal
, podemos montar a equação geral do plano. A fórmula geral de um plano é:
Onde
é um ponto no plano (no caso,
) e
são as componentes do vetor normal.
Passo 5
Substituindo os valores na equação:
Vamos simplificar:
Juntando os termos:
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o decimal:
Podemos reescrever para deixar os coeficientes positivos:
Resposta
A equação geral do plano mediador do segmento
é: