Determine a equação geral do plano mediador do segmento A B, onde A(4,3,-2) e B(1,9,2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai resolver esse exercício que pede para encontrar a equação geral do plano mediador do segmento A B, onde A(4,3,-2) e B(1,9,2). Isso envolve geometria espacial, mais especificamente o estudo de planos no espaço tridimensional. Para resolver, vamos precisar encontrar o ponto médio do segmento A B e o vetor diretor que define a orientação desse segmento.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o ponto médio do segmento A B. O ponto médio M tem coordenadas que são a média das coordenadas de A e B. A fórmula para isso é:
M = ( xA + xB2, yA + yB2, zA + zB2 )
Aplicando os valores:
M = ( 4 + 12, 3 + 92, -2 + 22 ) = ( 52, 6, 0 )
Então, o ponto médio M é (2,5,0).

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor diretor do segmento A B. Esse vetor é obtido subtraindo as coordenadas de A pelas de B:
AB = B - A = (1 - 4, 9 - 3, 2 - (-2)) = (-3, 6, 4)
Esse vetor será o vetor normal ( n) do plano mediador, já que o plano precisa ser perpendicular ao segmento A B.

Passo 4

Com o ponto médio M(2.5, 6, 0) e o vetor normal n = (-3, 6, 4), podemos montar a equação geral do plano. A fórmula geral de um plano é:
nx(x - x0) + ny(y - y0) + nz(z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é um ponto no plano (no caso, M) e (nx, ny, nz) são as componentes do vetor normal.

Passo 5

Substituindo os valores na equação:
-3(x - 2.5) + 6(y - 6) + 4(z - 0) = 0
Vamos simplificar:
-3x + 7.5 + 6y - 36 + 4z = 0
Juntando os termos:
-3x + 6y + 4z - 28.5 = 0
Multiplicando todos os termos por 2 para eliminar o decimal:
-6x + 12y + 8z - 57 = 0
Podemos reescrever para deixar os coeficientes positivos:
6x - 12y - 8z + 57 = 0

Resposta

A equação geral do plano mediador do segmento A B é:
6x - 12y - 8z + 57 = 0

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