Seja uma transformação linear T: R^2 R^3, definida por T(x, y)=(2 x-y, x+3 y,-2 y). Pedem-se:
b) Calcule o Núcleo de TL dada no comando inicial da questão.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o núcleo da transformação linear Núc<=o(T) = (x, y) in R^2 mid T(x, y) = 0 definida por .
O que é o núcleo?
O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores do espaço de partida que são mapeados para o vetor zero no espaço de chegada. Matematicamente, é definido como:
ú
Para encontrá-lo, precisamos resolver a equação .

Passo 2

Vamos escrever a equação 2x - y = 0 x + 3y = 0 -2y = 0 de forma mais detalhada. Isso significa que cada componente da imagem deve ser igual a zero:
Por que fazemos isso?
Porque para que o vetor esteja no núcleo, todas as coordenadas da imagem por devem ser zero.

Passo 3

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. Da terceira equação: y = 0
    2x - 0 = 0 Rightarrow 2x = 0 Rightarrow x = 0
  2. Com x + 3y = 0 Rightarrow 0 + 0 = 0 checkmark , substituímos na primeira equação:
  3. Verificamos na segunda equação para confirmar:
Explicação:
Ao resolver o sistema, encontramos que a única solução é e . Isso significa que apenas o vetor zero está no núcleo.

Resposta

O núcleo da transformação linear Núc<=o(T) = , (0, , 0) , é o conjunto que contém apenas o vetor zero:
ú

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