Seja uma transformação linear , definida por . Pedem-se:
b) Calcule o Núcleo de TL dada no comando inicial da questão.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o núcleo da transformação linear definida por .
O que é o núcleo?
O núcleo de uma transformação linear é o conjunto de todos os vetores do espaço de partida que são mapeados para o vetor zero no espaço de chegada. Matematicamente, é definido como:
Para encontrá-lo, precisamos resolver a equação .
Passo 2
Vamos escrever a equação de forma mais detalhada. Isso significa que cada componente da imagem deve ser igual a zero:
Por que fazemos isso?
Porque para que o vetor esteja no núcleo, todas as coordenadas da imagem por devem ser zero.
Passo 3
Vamos resolver o sistema de equações:
Da terceira equação: y = 0
2x - 0 = 0 Rightarrow 2x = 0 Rightarrow x = 0
Com x + 3y = 0 Rightarrow 0 + 0 = 0 checkmark , substituímos na primeira equação:
Verificamos na segunda equação para confirmar:
Explicação:
Ao resolver o sistema, encontramos que a única solução é e . Isso significa que apenas o vetor zero está no núcleo.
Resposta
O núcleo da transformação linear Núc<=o(T) = , (0, , 0) , é o conjunto que contém apenas o vetor zero: