Mostre que se u e v são vetores de R^2 que não são paralelos, isto é, não existe um número real lambda tal que u=, então qualquer vetor w de R^2 pode ser escrito na forma w=s u+t v, onde s e t são números reais. Sugestão: tente mostrar que o par s, t é solução de um sistema linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente mostrar que, se temos dois vetores e no plano que não são paralelos (ou seja, nenhum múltiplo de um dá o outro), então qualquer vetor nesse mesmo plano pode ser escrito como uma combinação desses dois vetores. Para fazer isso, vamos usar sistemas lineares, que são meio que um jeito de resolver equações envolvendo várias variáveis ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa escrever como . Aqui, e são números reais que queremos encontrar. Isso é como dizer que estamos combinando e com certos pesos e para chegar em .

Passo 3

Vamos supor que nossos vetores são:
u = u1 u2 , v = v1 v2 , w = w1 w2
Então, a equação w1 w2 = s u1 u2 + t v1 v2 = s u1 + t v1 s u2 + t v2 fica:
s u1 + t v1 = w1 s u2 + t v2 = w2
Isso nos dá um sistema de duas equações:

Passo 4

Agora, temos que resolver esse sistema para encontrar u1 & v1 u2 & v2 s t = w1 w2 e . Para isso, vamos representar o sistema em forma de matriz:

[


]
Chamamos a matriz dos coeficientes de matriz A.

Passo 5

Para que o sistema tenha uma solução única para det(A) = u1 v2 - u2 v1 e , a matriz precisa ser inversível, ou seja, seu determinante não pode ser zero. O determinante de é dado por:

Passo 6

A condição de que e não são paralelos significa exatamente que . Se os vetores fossem paralelos, o determinante seria zero, e não poderíamos garantir uma solução única.

Passo 7

Como s t = A^-1 w1 w2 , sabemos que podemos encontrar uma única solução para e usando a fórmula da matriz inversa:

[

A^{-1}

]
Isso garante que para qualquer em , existem e que satisfazem a equação .

Resposta

Portanto, mostramos que qualquer vetor em pode ser escrito como com e sendo números reais, desde que e não sejam paralelos.

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