Mostre que se
e
são vetores de
que não são paralelos, isto é, não existe um número real
tal que
, então qualquer vetor
de
pode ser escrito na forma
, onde
e
são números reais. Sugestão: tente mostrar que o par
é solução de um sistema linear.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para a gente mostrar que, se temos dois vetores
e
no plano
que não são paralelos (ou seja, nenhum múltiplo de um dá o outro), então qualquer vetor
nesse mesmo plano pode ser escrito como uma combinação desses dois vetores. Para fazer isso, vamos usar sistemas lineares, que são meio que um jeito de resolver equações envolvendo várias variáveis ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa escrever
como
. Aqui,
e
são números reais que queremos encontrar. Isso é como dizer que estamos combinando
e
com certos pesos
e
para chegar em
.
Passo 3
Vamos supor que nossos vetores são:
Então, a equação
fica:
Isso nos dá um sistema de duas equações:
Passo 4
Agora, temos que resolver esse sistema para encontrar
e
. Para isso, vamos representar o sistema em forma de matriz:
[
]
Chamamos a matriz dos coeficientes de matriz A.
Passo 5
Para que o sistema tenha uma solução única para
e
, a matriz
precisa ser inversível, ou seja, seu determinante não pode ser zero. O determinante de
é dado por:
Passo 6
A condição de que
e
não são paralelos significa exatamente que
. Se os vetores fossem paralelos, o determinante seria zero, e não poderíamos garantir uma solução única.
Passo 7
Como
, sabemos que podemos encontrar uma única solução para
e
usando a fórmula da matriz inversa:
[
A^{-1}
]
]
Isso garante que para qualquer
em
, existem
e
que satisfazem a equação
.
Resposta
Portanto, mostramos que qualquer vetor
em
pode ser escrito como
com
e
sendo números reais, desde que
e
não sejam paralelos.