Mostre que [(ll1 & 0 0 & 1),(ll1 & 1 0 & 0),(ll0 & 0 1 & 1),(ll0 & 1 1 & 2)]=M2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que os quatro matrizes dadas geram todo o espaço das matrizes 2x2 com números reais, que a gente chama de . Isso significa que qualquer matriz 2x2 pode ser escrita como uma combinação desses quatro matrizes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaço vetorial e combinação linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma matriz 2x2 tem quatro elementos, então o espaço tem dimensão 4. Isso quer dizer que precisamos de, no máximo, quatro matrizes que sejam linearmente independentes para gerar todo o espaço. Vamos ver se nossos quatro matrizes são independentes.

Passo 3

Vamos colocar as quatro matrizes em forma de vetores. Cada matriz 2x2 pode ser representada como um vetor de 4 elementos:
A = 1 & 0 0 & 1 (1, 0, 0, 1)
B = 1 & 1 0 & 0 (1, 1, 0, 0)
C = 0 & 0 1 & 1 (0, 0, 1, 1)
D = 0 & 1 1 & 2 (0, 1, 1, 2)

Passo 4

Agora, vamos criar uma matriz com esses vetores como colunas para verificar se elas são linearmente independentes. A matriz fica assim:
1 & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 1 1 & 0 & 1 & 2
Precisamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, as matrizes são independentes.

Passo 5

Calculando o determinante:
det = 1 cdot 1 & 0 & 1 0 & 1 & 1 - 1 cdot 0 & 0 & 1 1 & 1 & 2 + 0 - 0
Vamos simplificar:
det = 1 cdot (1 cdot 1 - 0 cdot 1) - 1 cdot (0 cdot 2 - 1 cdot 1) = 1 cdot 1 - 1 cdot (-1) = 1 + 1 = 2
Como o determinante é 2, que é diferente de zero, as matrizes são linearmente independentes.

Passo 6

Como temos quatro matrizes 2x2 que são linearmente independentes e o espaço tem dimensão 4, essas matrizes formam uma base para . Isso significa que qualquer matriz 2x2 pode ser escrita como uma combinação linear dessas quatro matrizes.

Resposta

Portanto, mostramos que ll1 & 0 0 & 1.

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