Beleza, vamos lá! Temos que mostrar que os quatro matrizes dadas geram todo o espaço das matrizes 2x2 com números reais, que a gente chama de . Isso significa que qualquer matriz 2x2 pode ser escrita como uma combinação desses quatro matrizes. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre espaço vetorial e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma matriz 2x2 tem quatro elementos, então o espaço tem dimensão 4. Isso quer dizer que precisamos de, no máximo, quatro matrizes que sejam linearmente independentes para gerar todo o espaço. Vamos ver se nossos quatro matrizes são independentes.
Passo 3
Vamos colocar as quatro matrizes em forma de vetores. Cada matriz 2x2 pode ser representada como um vetor de 4 elementos:
Passo 4
Agora, vamos criar uma matriz com esses vetores como colunas para verificar se elas são linearmente independentes. A matriz fica assim:
Precisamos calcular o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, as matrizes são independentes.
Como o determinante é 2, que é diferente de zero, as matrizes são linearmente independentes.
Passo 6
Como temos quatro matrizes 2x2 que são linearmente independentes e o espaço tem dimensão 4, essas matrizes formam uma base para . Isso significa que qualquer matriz 2x2 pode ser escrita como uma combinação linear dessas quatro matrizes.