A reta r passa pelo ponto (1,2) e tem uma inclinação alpha=135^circ. Determine uma equação da reta s que passa pelo ponto (2,1) e forma um ângulo de 45^circ com a reta r. resp.: y-1=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma reta que passa pelo ponto e tem uma inclinação de . Precisamos encontrar a equação de outra reta que passa por e forma um ângulo de com a reta . Vamos usar conceitos de geometria analítica, como equação da reta e ângulos entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o coeficiente angular da reta m = tan(alpha) . A inclinação de uma reta está relacionada ao coeficiente angular mr = tan(135^circ) = -1 pela fórmula:
Onde é o ângulo de inclinação. Então, para :

Passo 3

Agora que temos o coeficiente angular da reta y - y1 = m(x - x1) , podemos escrever a equação da reta usando o ponto y - 2 = -1(x - 1) . A fórmula da equação da reta é:
y = -x + 3
Substituindo e :
Que simplifica para:
Então, a equação da reta é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a equação da reta tan(theta) = | ms - mr1 + ms mr | que forma um ângulo de 1 = | ms - (-1)1 + ms (-1) | 1 = | ms + 11 - ms | com a reta . A relação entre os coeficientes angulares de duas retas que formam um ângulo é dada por:
Aqui, e . Substituindo:

Passo 5

Resolvendo a equação:
ms + 11 - ms = pm 1
Vamos considerar os dois casos:
  1. ms + 1 = 1 - ms 2ms = 0 ms = 0
ms + 1 = -1 + ms 1 = -1 (Sem solução)
çã
Então, a única solução válida é .

Passo 6

Com o coeficiente angular da reta y = 1 sendo zero, sabemos que a reta é horizontal. A equação de uma reta horizontal que passa pelo ponto y - 1 = 0 é simplesmente:
Ou, de forma equivalente:

Resposta

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