Consideremos o seguinte produto interno em P2: p q=a2 b2+a1 b1+a0 b0, sendo p=a2 x^2+a1 x+a0 e q=b2 x^2+b1 x+b0. Dados os vetores p1=x^2- 2 x+3, p2=3 x-4 e p3=1-x^2, calcular:
e) Co-seno do ângulo entre p2 e p3

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de cálculo do cosseno do ângulo entre dois polinômios no espaço . A matéria envolvida aqui é produto interno e ângulos entre vetores em espaços vetoriais. Para resolver, vamos precisar utilizar a definição de produto interno dada e a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os polinômios p2 = 3x - 4 p3 = 1 - x^2 e que vamos usar:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto interno p cdot q = a2 b2 + a1 b1 + a0 b0 usando a definição fornecida:
p2 = 0x^2 + 3x - 4 (onde a2 = 0, a1 = 3, a0 = -4) p3 = -1x^2 + 0x + 1 (onde b2 = -1, b1 = 0, b0 = 1)
Para isso, precisamos escrever p2 cdot p3 = (0)(-1) + (3)(0) + (-4)(1) = 0 + 0 - 4 = -4 e na forma padrão do polinômio de grau 2:
Aplicando a fórmula do produto interno:

Passo 4

Agora, vamos calcular as normas dos polinômios |p2| = raizp2 cdot p2 |p3| = raizp3 cdot p3 e p2 cdot p2 = (0)^2 + (3)^2 + (-4)^2 = 0 + 9 + 16 = 25 |p2| = raiz25 = 5 , que são as raízes quadradas dos produtos internos de cada um consigo mesmo:
p3 cdot p3 = (-1)^2 + (0)^2 + (1)^2 = 1 + 0 + 1 = 2 |p3| = raiz2
Calculando :
Calculando :

Passo 5

Com o produto interno cos(theta) = p2 cdot p3|p2| cdot |p3| e as normas cos(theta) = -45 cdot raiz2 = -45raiz2 = -4raiz210 = -2raiz25 e , podemos encontrar o cosseno do ângulo entre eles usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Resposta

O cosseno do ângulo entre e é .

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