Determine as equações das seguintes hipérboles.
a) Focos F1=(-2,2) e F2=(3,2) e para cada ponto P na hipérbole temos |dist(P, F1)-dist(P, F2)|=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação de uma hipérbole sabendo seus focos e a diferença das distâncias de qualquer ponto da hipérbole em relação a esses focos. Vamos usar conceitos de geometria analítica para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os focos da hipérbole. Temos F1=(-2,2) e F2=(3,2). Como os dois focos têm a mesma coordenada y, a hipérbole é orientada horizontalmente.

Passo 3

O centro da hipérbole é o ponto médio entre os focos. Para encontrar o centro (h,k), calculamos:
h = -2 + 32 = 12, k = 2 + 22 = 2
Então, o centro é (12, 2).

Passo 4

A distância entre os focos é 2c. Calculando:
2c = dist(F1, F2) = 3 - (-2) = 5 Rightarrow c = 52

Passo 5

A diferença das distâncias dos pontos da hipérbole aos focos é 2a = 3, então:
a = 32

Passo 6

Agora, encontramos b usando a relação entre a, b e c na hipérbole:
c^2 = a^2 + b^2 Rightarrow (52)^2 = (32)^2 + b^2 Rightarrow 254 = 94 + b^2 Rightarrow b^2 = 164 = 4
Então, b = 2.

Passo 7

Com todos os valores em mãos, escrevemos a equação da hipérbole no formato padrão horizontal:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
Substituindo os valores:
(x - 12)^2(32)^2 - (y - 2)^24 = 1

Resposta

A equação da hipérbole é:
(x - 12)^294 - (y - 2)^24 = 1

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