Determine as equações das seguintes hipérboles.
a) Focos
e
e para cada ponto
na hipérbole temos
.
a) Focos
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinar a equação de uma hipérbole sabendo seus focos e a diferença das distâncias de qualquer ponto da hipérbole em relação a esses focos. Vamos usar conceitos de geometria analítica para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os focos da hipérbole. Temos
e
. Como os dois focos têm a mesma coordenada y, a hipérbole é orientada horizontalmente.
Passo 3
O centro da hipérbole é o ponto médio entre os focos. Para encontrar o centro
, calculamos:
Então, o centro é
.
Passo 4
A distância entre os focos é
. Calculando:
Passo 5
A diferença das distâncias dos pontos da hipérbole aos focos é
, então:
Passo 6
Agora, encontramos
usando a relação entre
,
e
na hipérbole:
Então,
.
Passo 7
Com todos os valores em mãos, escrevemos a equação da hipérbole no formato padrão horizontal:
Substituindo os valores:
Resposta
A equação da hipérbole é: