Determine as equações das seguintes hipérboles.
b)
e
e para cada ponto
na hipérbole temos
.
b)
Passo 1
Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas focos da hipérbole em
e
. Além disso, para qualquer ponto
na hipérbole, a diferença absoluta das distâncias de
aos dois focos é igual a 2.
Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da hipérbole, que envolve os focos e a diferença das distâncias a esses focos.
Passo 2
Vamos chamar o ponto
de
. A condição dada no exercício pode ser escrita como:
Isso significa que, para qualquer ponto
na hipérbole, a diferença das distâncias para os focos
e
é igual a 2.
Passo 3
A distância entre dois pontos
e
é dada pela fórmula:
Aplicando isso aos nossos focos e ao ponto
, temos:
Simplificando, fica:
Passo 4
Para resolver essa equação, vamos isolar uma das raízes quadradas. Vamos mover a segunda raiz para o outro lado:
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
Passo 5
Expandindo o lado direito da equação:
Simplificando os termos:
Passo 6
Cancelando termos iguais dos dois lados da equação:
Rearranjando para isolar a raiz quadrada:
Dividindo ambos os lados por 4:
Passo 7
Vamos novamente elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo ambos os lados:
Passo 8
Cancelando
e
dos dois lados:
Rearranjando os termos para juntar semelhantes:
Simplificando:
Passo 9
Vamos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar os sinais:
Agora, rearranjando para deixar a equação de forma padrão:
Passo 10
Podemos fatorar os termos para simplificar a equação:
Ainda não está na forma padrão da hipérbole, mas essa é a equação que representa a hipérbole com os focos dados e a condição de diferença das distâncias.
Resposta
A equação da hipérbole é
.
Exercícios relacionados
Consideremos o seguinte produto interno em
, sendo
e
. Dados os vetores
e
, calcular:
e) Co-seno do ângulo entre
e) Co-seno do ângulo entre
Consideremos o seguinte produto interno em
, sendo
e
. Dados os vetores
e
, calcular:
c)
c)
Determine as equações das seguintes hipérboles.
c) e
e para cada ponto
na hipérbole temos
.
c)
Determine as equações das parábolas abaixo.
a) Foco e diretriz
.
a) Foco