Determine as equações das seguintes hipérboles.
b) Focos F1=(0,2) e F2=(2,0) e para cada ponto P na hipérbole temos |dist(P, F1)-dist(P, F2)|=2.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas focos da hipérbole em e . Além disso, para qualquer ponto na hipérbole, a diferença absoluta das distâncias de aos dois focos é igual a 2.
Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da hipérbole, que envolve os focos e a diferença das distâncias a esses focos.

Passo 2

Vamos chamar o ponto | dist(P, F1) - dist(P, F2) | = 2 de . A condição dada no exercício pode ser escrita como:
Isso significa que, para qualquer ponto na hipérbole, a diferença das distâncias para os focos e é igual a 2.

Passo 3

A distância entre dois pontos dist = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 e raiz(x - 0)^2 + (y - 2)^2 - raiz(x - 2)^2 + (y - 0)^2 = 2 é dada pela fórmula:
raizx^2 + (y - 2)^2 - raiz(x - 2)^2 + y^2 = 2
Aplicando isso aos nossos focos e ao ponto , temos:
Simplificando, fica:

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos isolar uma das raízes quadradas. Vamos mover a segunda raiz para o outro lado:
raizx^2 + (y - 2)^2 = 2 + raiz(x - 2)^2 + y^2
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:
x^2 + (y - 2)^2 = (2 + raiz(x - 2)^2 + y^2)^2

Passo 5

Expandindo o lado direito da equação:
x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4 + 4raiz(x - 2)^2 + y^2 + (x - 2)^2 + y^2
Simplificando os termos:
x^2 + y^2 - 4y + 4 = 4 + 4raiz(x - 2)^2 + y^2 + x^2 - 4x + 4 + y^2

Passo 6

Cancelando termos iguais dos dois lados da equação:
-4y + 4 = 8 + 4raiz(x - 2)^2 + y^2 - 4x
Rearranjando para isolar a raiz quadrada:
4raiz(x - 2)^2 + y^2 = 4x - 4y - 4
Dividindo ambos os lados por 4:
raiz(x - 2)^2 + y^2 = x - y - 1

Passo 7

Vamos novamente elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x - 2)^2 + y^2 = (x - y - 1)^2
Expandindo ambos os lados:
x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 - 2xy + y^2 - 2x + 2y + 1

Passo 8

Cancelando -4x + 4 = -2xy - 2x + 2y + 1 e -4x + 2x - 4 + 1 = -2xy + 2y dos dois lados:
-2x - 3 = -2xy + 2y
Rearranjando os termos para juntar semelhantes:
Simplificando:

Passo 9

Vamos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar os sinais:
2x + 3 = 2xy - 2y
Agora, rearranjando para deixar a equação de forma padrão:
2xy - 2y - 2x - 3 = 0

Passo 10

Podemos fatorar os termos para simplificar a equação:
2y(x - 1) - 2x - 3 = 0
Ainda não está na forma padrão da hipérbole, mas essa é a equação que representa a hipérbole com os focos dados e a condição de diferença das distâncias.

Resposta

A equação da hipérbole é .

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