Determine as equações das seguintes hipérboles.
b) e e para cada ponto na hipérbole temos .

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Temos duas focos da hipérbole em e . Além disso, para qualquer ponto na hipérbole, a diferença absoluta das distâncias de aos dois focos é igual a 2.
Para resolver isso, vamos precisar usar a definição da hipérbole, que envolve os focos e a diferença das distâncias a esses focos.

Passo 2

Vamos chamar o ponto de . A condição dada no exercício pode ser escrita como:
Isso significa que, para qualquer ponto na hipérbole, a diferença das distâncias para os focos e é igual a 2.

Passo 3

A distância entre dois pontos e é dada pela fórmula:
Aplicando isso aos nossos focos e ao ponto , temos:
Simplificando, fica:

Passo 4

Para resolver essa equação, vamos isolar uma das raízes quadradas. Vamos mover a segunda raiz para o outro lado:
Agora, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz quadrada:

Passo 5

Expandindo o lado direito da equação:
Simplificando os termos:

Passo 6

Cancelando termos iguais dos dois lados da equação:
Rearranjando para isolar a raiz quadrada:
Dividindo ambos os lados por 4:

Passo 7

Vamos novamente elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Expandindo ambos os lados:

Passo 8

Cancelando e dos dois lados:
Rearranjando os termos para juntar semelhantes:
Simplificando:

Passo 9

Vamos multiplicar ambos os lados por -1 para simplificar os sinais:
Agora, rearranjando para deixar a equação de forma padrão:

Passo 10

Podemos fatorar os termos para simplificar a equação:
Ainda não está na forma padrão da hipérbole, mas essa é a equação que representa a hipérbole com os focos dados e a condição de diferença das distâncias.

Resposta

A equação da hipérbole é .

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