Determine as equações das seguintes hipérboles.
c) Focos F1=(3,4) e F2=(3,0) e para cada ponto P na hipérbole temos |dist(P, F1)-dist(P, F2)|=3.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de hipérboles! O enunciado nos dá os focos e , e nos diz que para qualquer ponto na hipérbole, a diferença das distâncias entre e os focos é 3. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de hipérbole e como usar as coordenadas dos focos para encontrar a equação geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. O centro fica no ponto médio entre os dois focos. Então, vamos calcular as coordenadas do centro C = ( 3 + 32, 4 + 02 ) = (3, 2) :

Passo 3

Agora, vamos determinar a distância entre os focos, que é 2c = raiz(3-3)^2 + (4-0)^2 = raiz0 + 16 = 4 . Calculando a distância entre c = 2 e :

Passo 4

Sabemos que a diferença das distâncias dos pontos na hipérbole aos focos é 2a = 3 implies a = 32 . No enunciado, essa diferença é 3, então:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar c^2 = a^2 + b^2 usando a relação 2^2 = ( 32 )^2 + b^2 :
4 = 94 + b^2
b^2 = 4 - 94 = 164 - 94 = 74

Passo 6

Como os focos estão alinhados verticalmente (mesma coordenada (y - k)^2a^2 - (x - h)^2b^2 = 1 ), a hipérbole terá a equação na forma:
Onde é o centro, que já encontramos como .

Resposta

Substituindo os valores encontrados na equação:
(y - 2)^2( 32 )^2 - (x - 3)^274 = 1 implies (y - 2)^294 - (x - 3)^274 = 1
Ou, simplificando:
4(y - 2)^29 - 4(x - 3)^27 = 1
Essa é a equação da hipérbole com os focos dados e a diferença de distâncias igual a 3.

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