Determine as equações das seguintes hipérboles.
c)
e
e para cada ponto
na hipérbole temos
.
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de hipérboles! O enunciado nos dá os focos
e
, e nos diz que para qualquer ponto
na hipérbole, a diferença das distâncias entre
e os focos é 3. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de hipérbole e como usar as coordenadas dos focos para encontrar a equação geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. O centro fica no ponto médio entre os dois focos. Então, vamos calcular as coordenadas do centro
:
Passo 3
Agora, vamos determinar a distância entre os focos, que é
. Calculando a distância entre
e
:
Passo 4
Sabemos que a diferença das distâncias dos pontos na hipérbole aos focos é
. No enunciado, essa diferença é 3, então:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar
usando a relação
:
Passo 6
Como os focos estão alinhados verticalmente (mesma coordenada
), a hipérbole terá a equação na forma:
Onde
é o centro, que já encontramos como
.
Resposta
Substituindo os valores encontrados na equação:
Ou, simplificando:
Essa é a equação da hipérbole com os focos dados e a diferença de distâncias igual a 3.
Exercícios relacionados
Determine as equações das seguintes hipérboles.
b) e
e para cada ponto
na hipérbole temos
.
b)
Consideremos o seguinte produto interno em
, sendo
e
. Dados os vetores
e
, calcular:
e) Co-seno do ângulo entre
e) Co-seno do ângulo entre
Determine as equações das parábolas abaixo.
a) Foco e diretriz
.
a) Foco
Determine as equações das parábolas abaixo.
b) Foco e diretriz
.
b) Foco