Determine as equações das seguintes hipérboles.
c) e e para cada ponto na hipérbole temos .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de hipérboles! O enunciado nos dá os focos e , e nos diz que para qualquer ponto na hipérbole, a diferença das distâncias entre e os focos é 3. Para resolver isso, vamos precisar entender a definição de hipérbole e como usar as coordenadas dos focos para encontrar a equação geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o centro da hipérbole. O centro fica no ponto médio entre os dois focos. Então, vamos calcular as coordenadas do centro :

Passo 3

Agora, vamos determinar a distância entre os focos, que é . Calculando a distância entre e :

Passo 4

Sabemos que a diferença das distâncias dos pontos na hipérbole aos focos é . No enunciado, essa diferença é 3, então:

Passo 5

Agora, precisamos encontrar usando a relação :

Passo 6

Como os focos estão alinhados verticalmente (mesma coordenada ), a hipérbole terá a equação na forma:
Onde é o centro, que já encontramos como .

Resposta

Substituindo os valores encontrados na equação:
Ou, simplificando:
Essa é a equação da hipérbole com os focos dados e a diferença de distâncias igual a 3.

Exercícios relacionados

Determine as equações das seguintes hipérboles.
b) e e para cada ponto na hipérbole temos .
Consideremos o seguinte produto interno em , sendo e . Dados os vetores e , calcular:
e) Co-seno do ângulo entre
Determine as equações das parábolas abaixo.
a) Foco e diretriz .
Determine as equações das parábolas abaixo.
b) Foco e diretriz .