Consideremos o seguinte produto interno em P2: p q=a2 b2+a1 b1+a0 b0, sendo p=a2 x^2+a1 x+a0 e q=b2 x^2+b1 x+b0. Dados os vetores p1=x^2- 2 x+3, p2=3 x-4 e p3=1-x^2, calcular:
b) |p1| e |p3|

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a norma (ou comprimento) dos polinômios e no espaço dos polinômios de grau até 2, usando um produto interno definido. Para isso, vamos precisar entender como calcular a norma a partir do produto interno e aplicar essa fórmula nos polinômios dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um vetor | p | = raizp cdot p é calculada pela raiz quadrada do produto interno de p cdot q = a2b2 + a1b1 + a0b0 consigo mesmo, ou seja:
No nosso caso, o produto interno está definido como:
onde e .

Passo 3

Vamos começar calculando a norma de p1 = x^2 - 2x + 3 . O polinômio a2 = 1, a1 = -2, a0 = 3 é:
Aqui, os coeficientes são:

Passo 4

Aplicando a fórmula do produto interno para p1 cdot p1 = (1)(1) + (-2)(-2) + (3)(3) = 1 + 4 + 9 = 14 :

Passo 5

Agora, calculamos a norma de | p1 | = raiz14 approx 3,7417 :

Passo 6

Vamos fazer o mesmo para p3 = 1 - x^2 . O polinômio p3 = -x^2 + 0x + 1 é:
a2 = -1, a1 = 0, a0 = 1
Reorganizando, temos:
Então, os coeficientes são:

Passo 7

Aplicando a fórmula do produto interno para p3 cdot p3 = (-1)(-1) + (0)(0) + (1)(1) = 1 + 0 + 1 = 2 :

Passo 8

Agora, calculamos a norma de | p3 | = raiz2 approx 1,4142 :

Resposta

A norma de é aproximadamente e a norma de é aproximadamente .

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