Determine as equações das parábolas abaixo.
c) Foco e diretriz .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que tem o foco em e a diretriz dada pela reta . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de distância entre pontos e distância de um ponto até uma reta. Isso vai nos ajudar a montar a equação da parábola.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão a uma mesma distância do foco e da diretriz. Ou seja, para qualquer ponto na parábola, a distância até o foco deve ser igual à distância desse ponto até a diretriz .
Passo 3
Vamos calcular a distância do ponto até o foco . A fórmula para a distância entre dois pontos e é:
Aplicando isso:
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância do ponto até a diretriz . A distância de um ponto até uma reta é dada por:
Para a diretriz , podemos reescrever como , ou seja, , , e . Então:
Passo 5
Como a parábola é o conjunto de pontos onde essas duas distâncias são iguais, temos:
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz: