Determine as equações das parábolas abaixo.
c) Foco F=(1,1) e diretriz y=-1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que tem o foco em e a diretriz dada pela reta . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de distância entre pontos e distância de um ponto até uma reta. Isso vai nos ajudar a montar a equação da parábola.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão a uma mesma distância do foco e da diretriz. Ou seja, para qualquer ponto na parábola, a distância até o foco deve ser igual à distância desse ponto até a diretriz .

Passo 3

Vamos calcular a distância do ponto Distância = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 até o foco Distância até o foco = raiz(x - 1)^2 + (y - 1)^2 . A fórmula para a distância entre dois pontos e é:
â
Aplicando isso:
âé

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância do ponto Distância = |ax + by + c|raiza^2 + b^2 até a diretriz Distância até a diretriz = |0 cdot x + 1 cdot y + 1|raiz0^2 + 1^2 = |y + 1| . A distância de um ponto até uma reta é dada por:
â
Para a diretriz , podemos reescrever como , ou seja, , , e . Então:
âé

Passo 5

Como a parábola é o conjunto de pontos onde essas duas distâncias são iguais, temos:
raiz(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = |y + 1|
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = (y + 1)^2

Passo 6

Agora, vamos desenvolver os termos:
(x - 1)^2 = x^2 - 2x + 1
(y - 1)^2 = y^2 - 2y + 1
(y + 1)^2 = y^2 + 2y + 1
Substituindo na equação:
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 = y^2 + 2y + 1

Passo 7

Simplificando a equação:
x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1 - y^2 - 2y - 1 = 0
Os termos x^2 - 2x + 1 - 4y + 1 = 0 se cancelam:
x^2 - 2x + 2 - 4y = 0
Simplificando mais:

Passo 8

Vamos isolar o termo com -4y = -x^2 + 2x - 2 :
4y = x^2 - 2x + 2
Multiplicando ambos os lados por y = 14x^2 - 12x + 12 :
E dividindo por 4:

Resposta

A equação da parábola é:
y = 14x^2 - 12x + 12

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