Determine as equações das parábolas abaixo.
c) Foco
e diretriz
.
c) Foco
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que tem o foco em
e a diretriz dada pela reta
. Para resolver isso, vamos usar os conceitos de distância entre pontos e distância de um ponto até uma reta. Isso vai nos ajudar a montar a equação da parábola.
Passo 2
Primeiro, lembremos que uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão a uma mesma distância do foco e da diretriz. Ou seja, para qualquer ponto
na parábola, a distância até o foco
deve ser igual à distância desse ponto até a diretriz
.
Passo 3
Vamos calcular a distância do ponto
até o foco
. A fórmula para a distância entre dois pontos
e
é:
Aplicando isso:
Passo 4
Agora, vamos calcular a distância do ponto
até a diretriz
. A distância de um ponto
até uma reta
é dada por:
Para a diretriz
, podemos reescrever como
, ou seja,
,
, e
. Então:
Passo 5
Como a parábola é o conjunto de pontos onde essas duas distâncias são iguais, temos:
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 6
Agora, vamos desenvolver os termos:
Substituindo na equação:
Passo 7
Simplificando a equação:
Os termos
se cancelam:
Simplificando mais:
Passo 8
Vamos isolar o termo com
:
Multiplicando ambos os lados por
:
E dividindo por 4:
Resposta
A equação da parábola é: