Determine as equações das parábolas abaixo.
c) Foco e diretriz .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a equação de uma parábola que tem o foco em e a diretriz dada pela reta . Para resolver isso, vamos usar os conceitos de distância entre pontos e distância de um ponto até uma reta. Isso vai nos ajudar a montar a equação da parábola.

Passo 2

Primeiro, lembremos que uma parábola é o conjunto de todos os pontos que estão a uma mesma distância do foco e da diretriz. Ou seja, para qualquer ponto na parábola, a distância até o foco deve ser igual à distância desse ponto até a diretriz .

Passo 3

Vamos calcular a distância do ponto até o foco . A fórmula para a distância entre dois pontos e é:
â
Aplicando isso:
âé

Passo 4

Agora, vamos calcular a distância do ponto até a diretriz . A distância de um ponto até uma reta é dada por:
â
Para a diretriz , podemos reescrever como , ou seja, , , e . Então:
âé

Passo 5

Como a parábola é o conjunto de pontos onde essas duas distâncias são iguais, temos:
Para facilitar, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 6

Agora, vamos desenvolver os termos:
Substituindo na equação:

Passo 7

Simplificando a equação:
Os termos se cancelam:
Simplificando mais:

Passo 8

Vamos isolar o termo com :
Multiplicando ambos os lados por :
E dividindo por 4:

Resposta

A equação da parábola é:

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Consideremos o seguinte produto interno em , sendo e . Dados os vetores e , calcular:
b) e
Resolva o sistema de incógnitas e :
Sabendo que a direção de um vetor qualquer é dada por uma representação e sabendo ainda que seu módulo é dado por , calcule o módulo do vetor . As direções dos vetores são: , e .
  1. Resolva em e .
  1. Encontre uma matriz tal que , sendo
  1. Como devem ser escolhidos os coeficientes e para que o sistema
tenha a solução e ?
24. Em cada parte resolva a equação matricial .
24a.