Determine as equações das parábolas abaixo.
b) Foco F=(0,1) e diretriz x=-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a equação de uma parábola com foco no ponto e diretriz na reta . Para isso, vamos usar os conceitos de geometria da parábola, especificamente a definição de que uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto qualquer Distância até o foco = raiz(x - 0)^2 + (y - 1)^2 = raizx^2 + (y - 1)^2 ao foco Distância até a diretriz = |x - (-1)| = |x + 1| e à diretriz .
A distância entre e é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
âé
A distância de à diretriz é a distância horizontal, que é igual a:
âé

Passo 3

Segundo a definição da parábola, essas duas distâncias devem ser iguais. Então, montamos a equação:
raizx^2 + (y - 1)^2 = |x + 1|
Para simplificar, podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
x^2 + (y - 1)^2 = (x + 1)^2

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos e simplificar a equação:
x^2 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + 2x + 1
Podemos cancelar o y^2 - 2y + 1 = 2x + 1 de ambos os lados:
y^2 - 2y = 2x
Subtraindo 1 de ambos os lados:
x = y^2 - 2y2
Para deixar em forma mais padrão, vamos isolar x = (y^2 - 2y + 1) - 12 = (y - 1)^2 - 12 = (y - 1)^22 - 12 :
Podemos completar o quadrado para deixar a equação mais reconhecível:

Resposta

A equação da parábola com foco em x = (y - 1)^22 - 12 e diretriz é:

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