Determine as equações das parábolas abaixo.
b) Foco
e diretriz
.
b) Foco
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a equação de uma parábola com foco no ponto
e diretriz na reta
. Para isso, vamos usar os conceitos de geometria da parábola, especificamente a definição de que uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto qualquer
ao foco
e à diretriz
.
A distância entre
e
é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
A distância de
à diretriz
é a distância horizontal, que é igual a:
Passo 3
Segundo a definição da parábola, essas duas distâncias devem ser iguais. Então, montamos a equação:
Para simplificar, podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 4
Agora, vamos expandir os termos e simplificar a equação:
Podemos cancelar o
de ambos os lados:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Para deixar em forma mais padrão, vamos isolar
:
Podemos completar o quadrado para deixar a equação mais reconhecível:
Resposta
A equação da parábola com foco em
e diretriz
é: