Determine as equações das parábolas abaixo.
b) Foco e diretriz .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para determinar a equação de uma parábola com foco no ponto e diretriz na reta . Para isso, vamos usar os conceitos de geometria da parábola, especificamente a definição de que uma parábola é o conjunto de pontos que estão à mesma distância do foco e da diretriz.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância de um ponto qualquer ao foco e à diretriz .
A distância entre e é dada pela fórmula da distância entre dois pontos:
âé
A distância de à diretriz é a distância horizontal, que é igual a:
âé

Passo 3

Segundo a definição da parábola, essas duas distâncias devem ser iguais. Então, montamos a equação:
Para simplificar, podemos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:

Passo 4

Agora, vamos expandir os termos e simplificar a equação:
Podemos cancelar o de ambos os lados:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Para deixar em forma mais padrão, vamos isolar :
Podemos completar o quadrado para deixar a equação mais reconhecível:

Resposta

A equação da parábola com foco em e diretriz é:

Exercícios relacionados

Determine as equações das parábolas abaixo.
a) Foco e diretriz .
Determine as equações das seguintes hipérboles.
c) e e para cada ponto na hipérbole temos .
Resolva o sistema de incógnitas e :
Consideremos o seguinte produto interno em , sendo e . Dados os vetores e , calcular:
b) e