Prove que, a igualdade na Desigualdade de Cauchy-Schwarz é válida se, e somente se, os vetores linearmente dependentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a igualdade na Desigualdade de Cauchy-Schwarz acontece se e somente se os vetores envolvidos são linearmente dependentes. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como produto interno e dependência linear, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Ela diz que, para dois vetores
e
em um espaço vetorial com produto interno, a seguinte desigualdade sempre vale:
Aqui,
é o produto interno dos vetores, e
é a norma do vetor
.
Passo 3
A desigualdade se torna uma igualdade, ou seja:
Queremos provar que isso ocorre se e somente se
e
são linearmente dependentes. Linearmente dependentes significa que um dos vetores é múltiplo do outro, ou seja, existe um escalar
tal que
ou
.
Passo 4
Vamos começar provando a direção direta: se
e
são linearmente dependentes, então a igualdade na Desigualdade de Cauchy-Schwarz ocorre.
Assumindo que
, vamos calcular ambos os lados da desigualdade:
E
Como
é um escalar,
ou
. Em qualquer caso, temos que
, provando a primeira parte.
Passo 5
Agora, vamos provar a direção inversa: se a igualdade na Desigualdade de Cauchy-Schwarz ocorre, então
e
são linearmente dependentes.
Se
, isso indica que o ângulo entre os vetores é 0 ou 180 graus, ou seja, eles estão na mesma direção ou em direções opostas. Geometricamente, isso significa que um vetor é um múltiplo escalar do outro, ou seja, são linearmente dependentes.
Matematicamente, isso pode ser visto usando a igualdade no Cauchy-Schwarz:
Expandindo isso, chegamos à conclusão de que
e
devem ser múltiplos um do outro, confirmando a dependência linear.
Resposta
A igualdade na Desigualdade de Cauchy-Schwarz ocorre se e somente se os vetores
e
são linearmente dependentes.