Prove que, a igualdade na Desigualdade de Cauchy-Schwarz é válida se, e somente se, os vetores linearmente dependentes.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a igualdade na Desigualdade de Cauchy-Schwarz acontece se e somente se os vetores envolvidos são linearmente dependentes. Vamos usar conceitos de álgebra linear, como produto interno e dependência linear, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Desigualdade de Cauchy-Schwarz. Ela diz que, para dois vetores |lang<= u, v rang<=| <= |u| cdot |v| e em um espaço vetorial com produto interno, a seguinte desigualdade sempre vale:
Aqui, é o produto interno dos vetores, e é a norma do vetor .

Passo 3

A desigualdade se torna uma igualdade, ou seja:
|lang<= u, v rang<=| = |u| cdot |v|
Queremos provar que isso ocorre se e somente se e são linearmente dependentes. Linearmente dependentes significa que um dos vetores é múltiplo do outro, ou seja, existe um escalar tal que ou .

Passo 4

Vamos começar provando a direção direta: se lang<= u, v rang<= = lang<= lambda v, v rang<= = lambda lang<= v, v rang<= = lambda |v|^2 e |u| cdot |v| = |lambda| |v| cdot |v| = |lambda| |v|^2 são linearmente dependentes, então a igualdade na Desigualdade de Cauchy-Schwarz ocorre.
Assumindo que , vamos calcular ambos os lados da desigualdade:
E
Como é um escalar, ou . Em qualquer caso, temos que , provando a primeira parte.

Passo 5

Agora, vamos provar a direção inversa: se a igualdade na Desigualdade de Cauchy-Schwarz ocorre, então |u|^2 |v|^2 = |lang<= u, v rang<=|^2 e são linearmente dependentes.
Se , isso indica que o ângulo entre os vetores é 0 ou 180 graus, ou seja, eles estão na mesma direção ou em direções opostas. Geometricamente, isso significa que um vetor é um múltiplo escalar do outro, ou seja, são linearmente dependentes.
Matematicamente, isso pode ser visto usando a igualdade no Cauchy-Schwarz:
Expandindo isso, chegamos à conclusão de que e devem ser múltiplos um do outro, confirmando a dependência linear.

Resposta

A igualdade na Desigualdade de Cauchy-Schwarz ocorre se e somente se os vetores e são linearmente dependentes.

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