Consideremos 0 seguinte produto interno em P2: p cdot q=a2 b2+a1 b1+a0 b0, sendo p=a2 x^2+a1 x+a0 e q=b2 x^2+b1 x+b0. Dados os vetores p1=x^2-2 x+3, p2=3 x-4 e p3=1-x^2, calcular:
b) |p1| e|p3|

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parte b) do exercício. A gente tem que calcular o produto das normas dos polinômios p cdot q = a2 b2 + a1 b1 + a0 b0 e no espaço com o produto interno definido por:
Para isso, vamos precisar entender como calcular a norma de um polinômio usando esse produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a norma de um polinômio |p| = raizp cdot p é dada por:
Isso significa que a norma é a raiz quadrada do produto interno do polinômio consigo mesmo.

Passo 3

Vamos calcular a norma de p1 cdot p1 = a2^2 + a1^2 + a0^2 = 1^2 + (-2)^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14 .
Os coeficientes de |p1| = raiz14 são:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de )
  • (termo constante)
Aplicando a fórmula do produto interno:
Então, a norma de é:

Passo 4

Agora, vamos calcular a norma de p3 cdot p3 = a2^2 + a1^2 + a0^2 = (-1)^2 + 0^2 + 1^2 = 1 + 0 + 1 = 2 .
Os coeficientes de |p3| = raiz2 são:
  • (coeficiente de )
  • (coeficiente de , que não aparece)
  • (termo constante)
Aplicando a fórmula do produto interno:
Então, a norma de é:

Passo 5

Finalmente, para encontrar o produto das normas |p1| cdot |p3| = raiz14 times raiz2 = raiz14 times 2 = raiz28 e raiz28 = raiz4 times 7 = raiz4 times raiz7 = 2raiz7 , basta multiplicar os resultados que obtivemos:
Podemos simplificar ainda mais:

Resposta

O produto das normas é .

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