Sejam r: a x+b y+c=0 e s: m x+n y+p=0 retas. Determine condições sobre a, b, c, m, n, p para que r e s sejam concorrentes. Determine fórmula para a medida do menor ângulo formado pelas duas retas. Perguntam-se: c e p são fundamentais? Se c e p mudam, o quê de fato acontece quanto ao fato de serem concorrentes? E quanto à medida do ângulo formado entre as retas? E quanto à medida do maior ângulo entre r e s ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá duas retas: e . A gente precisa descobrir quando essas duas retas se cruzam (ou seja, são concorrentes) e também calcular o menor ângulo formado entre elas. Além disso, vamos analisar se os termos e são importantes para essas características. Para resolver tudo isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como determinação de interseção de retas e cálculo de ângulos entre elas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quando duas retas são concorrentes. Duas retas são concorrentes se elas se cruzam em exatamente um ponto. Para isso, o sistema de equações formado pelas duas retas deve ter uma solução única.
As retas dadas são:
r: a x + b y + c = 0
s: m x + n y + p = 0
Para que o sistema tenha uma única solução, o determinante das coeficientes a & b m & n = a n - b m neq 0 e a n - b m neq 0 deve ser diferente de zero. Ou seja:
Então, a condição para que as retas e sejam concorrentes é:

Passo 3

Agora, vamos calcular o menor ângulo entre as duas retas. A fórmula para o ângulo tan(theta) = | m2 - m11 + m1 m2 | entre duas retas m1 = -ab e m2 = -mn é dada por:
tan(theta) = | ( -mn ) - ( -ab ) 1 + ( -ab ) ( -mn ) | = | -mn + ab 1 + a mb n |
onde tan(theta) = | a n - b mb n + a m | e theta = arctan( | a n - b mb n + a m | ) são as inclinações das retas e , respectivamente.
Mas como substituir isso pelos coeficientes das equações gerais das retas? Vamos lembrar que a inclinação de uma reta é . Então:
Para a reta :
Para a reta :
Substituindo na fórmula do ângulo:
Simplificando:
Agora, para encontrar o ângulo , usamos a função arco-tangente:
Essa é a fórmula para medir o menor ângulo entre as duas retas.

Passo 4

Vamos analisar se os termos e são fundamentais para determinar se as retas são concorrentes e para o cálculo dos ângulos entre elas.
  1. Concorrência ( ): Note que a condição depende apenas dos coeficientes . Os termos constantes e não influenciam essa condição. Eles afetam onde as retas estão no plano, mas não a inclinação delas.
  2. Ângulo entre as retas: A fórmula do ângulo também depende apenas de . Novamente, e não entram nessa equação. Eles não alteram a inclinação das retas, apenas a posição delas.

Passo 5

Se os termos e mudam, o que realmente acontece?
  1. Concorrência: Como vimos, a condição para que as retas sejam concorrentes não depende de e . Então, mudar esses termos não afeta se as retas se cruzam ou não. Elas continuarão sendo concorrentes ou não conforme os coeficientes .
  2. Ângulo entre as retas: Já que o ângulo depende apenas de , alterar e não muda o ângulo entre as retas. O ângulo permanece o mesmo, independentemente dos valores de e .
  3. Maior ângulo entre as retas: Em um plano, duas retas que se cruzam formam dois ângulos suplementares que somam . Se é o menor ângulo, o maior será . Como não depende de e , o maior ângulo também não será afetado por mudanças nesses termos.

Resposta

Para que as retas theta = arctan( | a n - b mb n + a m | ) e sejam concorrentes, é necessário que . O menor ângulo entre elas é dado por:
Os termos e não são fundamentais para determinar a concorrência nem para o cálculo dos ângulos. Alterar e não afeta se as retas se cruzam nem o ângulo entre elas, inclusive o maior ângulo formado.

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b) |p1| e|p3|