Demonstre o momento de inercia para um cilindro de raio R, massa M e comprimento L. Calcule seu momento de inercia sobre seu eu eixo central.
Passo 1
Vamos resolver um exercício sobre momento de inércia, que é um conceito da mecânica rotacional. O exercício pede para calcular o momento de inércia de um cilindro com raio
, massa
e comprimento
em relação ao seu eixo central. Para isso, vamos precisar entender como calcular o momento de inércia de objetos com simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia (
) de um objeto em relação a um eixo é uma medida de como a massa do objeto está distribuída em relação a esse eixo. Quanto mais massa estiver distante do eixo, maior será o momento de inércia.
Passo 3
Para calcular
de um cilindro sólido, podemos considerar que ele é formado por infinitos discos finos empilhados ao longo do seu comprimento. Cada um desses discos tem um pequeno elemento de massa
localizado a uma distância
do eixo central.
Passo 4
A fórmula geral para o momento de inércia de um elemento de massa
a uma distância
do eixo é:
No caso do cilindro,
varia de 0 a
, onde
é o raio do cilindro.
Passo 5
Para encontrar o momento de inércia total
, precisamos integrar
sobre toda a massa do cilindro. Primeiro, expressamos
em termos da densidade do cilindro. A densidade linearmente é:
onde
é o volume do cilindro.
Passo 6
Substituindo
na expressão de
, temos:
onde
e
representam os pequenos incrementos de raio e comprimento, respectivamente.
Passo 7
Agora, substituímos
na expressão de
:
Passo 8
Integrando
sobre todo o volume do cilindro:
Primeiro, integramos em relação a
:
Depois, integramos em relação a
:
Passo 9
Substituindo as integrais calculadas na expressão de
:
Resposta
O momento de inércia do cilindro sobre seu eixo central é:
Exercícios relacionados
Mostre que as matrizes da forma
onde
é um número real não nulo, verificam a equação
.
Consideremos as seguintes bases de
:
Utilize a matriz obtida no item (a) para calcular
, sendo
:
Mostre que se
, então
. (matriz nula)
Provar que se
e
são matrizes que comutam então valem as seguintes igualdades:
a) .
a)