Demonstre o momento de inercia para um cilindro de raio R, massa M e comprimento L. Calcule seu momento de inercia sobre seu eu eixo central.

Passo 1

Vamos resolver um exercício sobre momento de inércia, que é um conceito da mecânica rotacional. O exercício pede para calcular o momento de inércia de um cilindro com raio , massa e comprimento em relação ao seu eixo central. Para isso, vamos precisar entender como calcular o momento de inércia de objetos com simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o momento de inércia ( ) de um objeto em relação a um eixo é uma medida de como a massa do objeto está distribuída em relação a esse eixo. Quanto mais massa estiver distante do eixo, maior será o momento de inércia.

Passo 3

Para calcular de um cilindro sólido, podemos considerar que ele é formado por infinitos discos finos empilhados ao longo do seu comprimento. Cada um desses discos tem um pequeno elemento de massa localizado a uma distância do eixo central.

Passo 4

A fórmula geral para o momento de inércia de um elemento de massa a uma distância do eixo é:
No caso do cilindro, varia de 0 a , onde é o raio do cilindro.

Passo 5

Para encontrar o momento de inércia total , precisamos integrar sobre toda a massa do cilindro. Primeiro, expressamos em termos da densidade do cilindro. A densidade linearmente é:
onde é o volume do cilindro.

Passo 6

Substituindo na expressão de , temos:
onde e representam os pequenos incrementos de raio e comprimento, respectivamente.

Passo 7

Agora, substituímos na expressão de :

Passo 8

Integrando sobre todo o volume do cilindro:
Primeiro, integramos em relação a :
Depois, integramos em relação a :

Passo 9

Substituindo as integrais calculadas na expressão de :

Resposta

O momento de inércia do cilindro sobre seu eixo central é:

Exercícios relacionados

Mostre que as matrizes da forma onde é um número real não nulo, verificam a equação .
Consideremos as seguintes bases de :
Utilize a matriz obtida no item (a) para calcular , sendo :
Mostre que se , então . (matriz nula)
Provar que se e são matrizes que comutam então valem as seguintes igualdades:
a) .