Consideremos as seguintes definições:
(i) Um losango é um paralelogramo cujos lados são congruentes.
(ii) Um retângulo é um paralelogramo cujos ângulos são retos.
(iii) Um quadrado é um retângulo cujos lados são congruentes.
Prove os seguintes itens:
(b) Em um losango, as diagonais são perpendiculares e se bisseccionam.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que, num losango (que é um tipo de paralelogramo com todos os lados iguais), as diagonais se cruzam formando ângulos retos (ou seja, são perpendiculares) e que elas se dividem ao meio quando se encontram. Para isso, vamos precisar usar propriedades dos paralelogramos e um pouco de trigonometria básica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que num paralelogramo, as diagonais se bissetam, ou seja, se cortam ao meio. Como o losango é um paralelogramo, já sabemos dessa propriedade. Mas vamos mostrar isso detalhadamente.

Passo 3

Imagine o losango ABCD, com diagonais AC e BD se cruzando no ponto O. Como os lados opostos são paralelos e iguais, os triângulos formados pelas diagonais são congruentes. Isso significa que AO = CO e BO = DO, provando que as diagonais se bissetam.

Passo 4

Agora, vamos provar que as diagonais são perpendiculares. Sabemos que em um losango, todos os lados são iguais. Então, vamos considerar os triângulos AOB e COB. Como AO = CO e BO = DO, e os lados do losango são iguais, podemos usar o teorema de Pitágoras para mostrar que os ângulos formados pelas diagonais são retos.

Passo 5

Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo AOB, temos:
Como AB é igual a todos os lados, e AO = CO e BO = DO, isso nos mostra que os ângulos em O são de 90 graus, ou seja, as diagonais são perpendiculares.

Resposta

Portanto, provamos que, em um losango, as diagonais são perpendiculares e se bissetam.

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Prove que:
(b) Se dois lados de um quadrilátero são paralelos e congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.
Considere as seguinte definições:
(i) Uma poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos e pelos segmentos . Os pontos são os vértices da poligonal e os segmentos são seus lados.
(ii) Um polígono é uma poligonal em que as seguintes consições são satisfeitas:
(ii.1) ;
(ii.2) os lados da poligonal se intercectam somente em suas extremidades;
(ii.3) cada vértice é extremidade de dois lados e
(ii.4) dois lados com a mesma extremidade não pertecem a uma mesma reta.
Um exemplo é o paralelogramo, que trata-se de um polígono de quatro lados em que os lados opostos são paralelos, isto é, as retas que contém esses lados são paralelas. Prove que, em um paralelogramo, valem as seguintes propriedades:
(d) Dois ângulos consecutivos quaisquer em um paralelogramo são suplementares.
(Teorema da Localização de Pontos) Seja uma semirreta e seja um número positivo. Então existe um único ponto em tal que .
Um trapézio é um quadrilátero em que dois lados opostos são paralelos. Os lados paralelos de um trapézio são chamados bases e os outros dois são denominados laterais. Um trapézio é dito isósceles se suas laterais são congruentes. Seja um trapézio em qua é uma base. Se ele é isósceles, mostre que e .