Prove que:
(b) Se dois lados de um quadrilátero são paralelos e congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão pede: Temos um quadrilátero onde dois lados são paralelos e têm o mesmo comprimento (são congruentes). Precisamos provar que esse quadrilátero é um paralelogramo. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades dos paralelogramos e entender o que significa dois lados serem paralelos e congruentes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um paralelogramo. Um paralelogramo é um quadrilátero onde os lados opostos são paralelos e congruentes. Ou seja, se conseguimos mostrar que os outros dois lados também são paralelos e têm o mesmo comprimento, então temos um paralelogramo.

Passo 3

Sabemos que dois lados são paralelos e congruentes. Vamos chamar esses lados de e , onde e . Precisamos mostrar que os outros dois lados ( e ) também são paralelos e congruentes.

Passo 4

Como e , podemos concluir que os ângulos adjacentes a esses lados são iguais. Isso ocorre porque segmentos paralelos cortados por uma transversal formam ângulos alternos internos iguais.

Passo 5

Agora, observamos que os ângulos nos vértices onde e se encontram são iguais. Isso significa que e devem ser paralelos para que os ângulos continuem iguais, mantendo a propriedade de que ângulos alternos internos são iguais.

Passo 6

Com e, já que , também temos que por causa da congruência dos lados opostos. Assim, todos os lados opostos são paralelos e congruentes.

Resposta

Portanto, o quadrilátero é um paralelogramo.

Exercícios relacionados

Considere as seguinte definições:
(i) Uma poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos e pelos segmentos . Os pontos são os vértices da poligonal e os segmentos são seus lados.
(ii) Um polígono é uma poligonal em que as seguintes consições são satisfeitas:
(ii.1) ;
(ii.2) os lados da poligonal se intercectam somente em suas extremidades;
(ii.3) cada vértice é extremidade de dois lados e
(ii.4) dois lados com a mesma extremidade não pertecem a uma mesma reta.
Um exemplo é o paralelogramo, que trata-se de um polígono de quatro lados em que os lados opostos são paralelos, isto é, as retas que contém esses lados são paralelas. Prove que, em um paralelogramo, valem as seguintes propriedades:
(d) Dois ângulos consecutivos quaisquer em um paralelogramo são suplementares.
Prove que duas retas paralelas equidistam em toda a sua extensão. (Lembrando que a distância entre duas retas paralelas é a distância de qualquer ponto de uma delas à outa)
Consideremos as seguintes definições:
(i) Um losango é um paralelogramo cujos lados são congruentes.
(ii) Um retângulo é um paralelogramo cujos ângulos são retos.
(iii) Um quadrado é um retângulo cujos lados são congruentes.
Prove os seguintes itens:
(b) Em um losango, as diagonais são perpendiculares e se bisseccionam.
(Teorema da Localização de Pontos) Seja uma semirreta e seja um número positivo. Então existe um único ponto em tal que .