Prove que:
(b) Se dois lados de um quadrilátero são paralelos e congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.
(b) Se dois lados de um quadrilátero são paralelos e congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão pede: Temos um quadrilátero onde dois lados são paralelos e têm o mesmo comprimento (são congruentes). Precisamos provar que esse quadrilátero é um paralelogramo. Para isso, vamos precisar conhecer as propriedades dos paralelogramos e entender o que significa dois lados serem paralelos e congruentes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um paralelogramo. Um paralelogramo é um quadrilátero onde os lados opostos são paralelos e congruentes. Ou seja, se conseguimos mostrar que os outros dois lados também são paralelos e têm o mesmo comprimento, então temos um paralelogramo.
Passo 3
Sabemos que dois lados são paralelos e congruentes. Vamos chamar esses lados de
e
, onde
e
. Precisamos mostrar que os outros dois lados (
e
) também são paralelos e congruentes.
Passo 4
Como
e
, podemos concluir que os ângulos adjacentes a esses lados são iguais. Isso ocorre porque segmentos paralelos cortados por uma transversal formam ângulos alternos internos iguais.
Passo 5
Agora, observamos que os ângulos nos vértices onde
e
se encontram são iguais. Isso significa que
e
devem ser paralelos para que os ângulos continuem iguais, mantendo a propriedade de que ângulos alternos internos são iguais.
Passo 6
Com
e, já que
, também temos que
por causa da congruência dos lados opostos. Assim, todos os lados opostos são paralelos e congruentes.
Resposta
Portanto, o quadrilátero é um paralelogramo.
Exercícios relacionados
Considere as seguinte definições:
(i) Uma poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos e pelos segmentos
. Os pontos são os vértices da poligonal e os segmentos são seus lados.
(ii) Um polígono é uma poligonal em que as seguintes consições são satisfeitas:
(ii.1) ;
(ii.2) os lados da poligonal se intercectam somente em suas extremidades;
(ii.3) cada vértice é extremidade de dois lados e
(ii.4) dois lados com a mesma extremidade não pertecem a uma mesma reta.
Um exemplo é o paralelogramo, que trata-se de um polígono de quatro lados em que os lados opostos são paralelos, isto é, as retas que contém esses lados são paralelas. Prove que, em um paralelogramo, valem as seguintes propriedades:
(d) Dois ângulos consecutivos quaisquer em um paralelogramo são suplementares.
(i) Uma poligonal é uma figura formada por uma sequência de pontos
(ii) Um polígono é uma poligonal em que as seguintes consições são satisfeitas:
(ii.1)
(ii.2) os lados da poligonal se intercectam somente em suas extremidades;
(ii.3) cada vértice é extremidade de dois lados e
(ii.4) dois lados com a mesma extremidade não pertecem a uma mesma reta.
Um exemplo é o paralelogramo, que trata-se de um polígono de quatro lados em que os lados opostos são paralelos, isto é, as retas que contém esses lados são paralelas. Prove que, em um paralelogramo, valem as seguintes propriedades:
(d) Dois ângulos consecutivos quaisquer em um paralelogramo são suplementares.
Prove que duas retas paralelas equidistam em toda a sua extensão. (Lembrando que a distância entre duas retas paralelas é a distância de qualquer ponto de uma delas à outa)
Consideremos as seguintes definições:
(i) Um losango é um paralelogramo cujos lados são congruentes.
(ii) Um retângulo é um paralelogramo cujos ângulos são retos.
(iii) Um quadrado é um retângulo cujos lados são congruentes.
Prove os seguintes itens:
(b) Em um losango, as diagonais são perpendiculares e se bisseccionam.
(i) Um losango é um paralelogramo cujos lados são congruentes.
(ii) Um retângulo é um paralelogramo cujos ângulos são retos.
(iii) Um quadrado é um retângulo cujos lados são congruentes.
Prove os seguintes itens:
(b) Em um losango, as diagonais são perpendiculares e se bisseccionam.
(Teorema da Localização de Pontos) Seja
uma semirreta e seja
um número positivo. Então existe um único ponto
em
tal que
.