Consideremos as seguintes definições:
(i) Um losango é um paralelogramo cujos lados são congruentes.
(ii) Um retângulo é um paralelogramo cujos ângulos são retos.
(iii) Um quadrado é um retângulo cujos lados são congruentes.
Prove os seguintes itens:
© Se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam e são perpendiculares, então o quadrilátero é um losango.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que provar que um quadrilátero é um losango se as suas diagonais se bisseccionam (ou seja, se cortam ao meio) e são perpendiculares (formam ângulo de 90 graus entre si).
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria plana, especialmente relacionados a paralelogramos e suas propriedades. Precisamos entender o que é um losango e como as diagonais se comportam nele.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um losango. Pelo enunciado:
  • Losango: É um paralelogramo cujos lados são congruentes, ou seja, todos os lados têm o mesmo comprimento.
Agora, sabemos que:
  • Paralelogramo: É um quadrilátero com os lados opostos paralelos e congruentes.
Então, nosso objetivo é mostrar que, se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam e são perpendiculares, esse quadrilátero tem todos os lados de igual comprimento, ou seja, é um losango.

Passo 3

Vamos analisar as diagonais:
  • Diagonais que se bisseccionam: Significa que as diagonais se cortam ao meio. Portanto, cada diagonal é dividida em dois segmentos de igual comprimento.
  • Diagonais perpendiculares: Significa que as diagonais formam um ângulo de 90 graus onde se encontram.
Em um paralelogramo, as diagonais sempre se bissectionam. Além disso, se o paralelogramo é também um losango, suas diagonais são perpendiculares.
Queremos provar a implicação inversa: se temos um quadrilátero cujas diagonais se bisseccionam e são perpendiculares, então ele é um losango.

Passo 4

Vamos considerar as diagonais se cortando no ponto , e sejam as diagonais e .
Como as diagonais se bisseccionam:
Além disso, como são perpendiculares:
Agora, vamos analisar os triângulos formados pelas diagonais.

Passo 5

Olhe os quatro triângulos formados pelas diagonais:
Como e , e os ângulos formados são de 90 graus, podemos dizer que:
Isso significa que os lados , , e têm o mesmo comprimento, já que correspondem a lados congruentes em triângulos congruentes.

Passo 6

Então, concluímos que todos os lados do quadrilátero são congruentes:
Como todos os lados são iguais e as diagonais se bissectionam e são perpendiculares, o quadrilátero atende à definição de um losango.

Resposta

Portanto, se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam e são perpendiculares, então o quadrilátero é um losango.

Exercícios relacionados

Um trapézio é um quadrilátero em que dois lados opostos são paralelos. Os lados paralelos de um trapézio são chamados bases e os outros dois são denominados laterais. Um trapézio é dito isósceles se suas laterais são congruentes. Seja um trapézio em qua é uma base. Se ele é isósceles, mostre que e .
(Teorema da Localização de Pontos) Seja uma semirreta e seja um número positivo. Então existe um único ponto em tal que .
Mostre que, se os ângulos opostos de um quadrilátero são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.