Mostre que, se os ângulos opostos de um quadrilátero são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se os ângulos opostos de um quadrilátero são congruentes (ou seja, têm a mesma medida), então esse quadrilátero é um paralelogramo. Isso está dentro da geometria plana, especificamente no estudo dos quadriláteros e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um paralelogramo e como as propriedades dos ângulos em um quadrilátero podem nos levar a essa conclusão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um paralelogramo. Um paralelogramo é um quadrilátero em que os lados opostos são paralelos. Uma das propriedades importantes de um paralelogramo é que os ângulos opostos são congruentes. Mas agora queremos provar o contrário: se os ângulos opostos são congruentes, então os lados opostos são paralelos, ou seja, o quadrilátero é um paralelogramo.
Passo 3
Vamos considerar um quadrilátero ABCD, onde os ângulos opostos são congruentes, ou seja, ∠A ≅ ∠C e ∠B ≅ ∠D. Nossa meta é mostrar que os lados opostos, AB e CD, e AD e BC, são paralelos.
Passo 4
Vamos usar a propriedade da soma dos ângulos internos de um quadrilátero. Sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 360°, ou seja:
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°
Passo 5
Como ∠A ≅ ∠C e ∠B ≅ ∠D, podemos substituir:
2∠A + 2∠B = 360°
Dividindo ambos os lados por 2:
∠A + ∠B = 180°
2∠A + 2∠B = 360°
Dividindo ambos os lados por 2:
∠A + ∠B = 180°
Passo 6
Isso significa que os ângulos adjacentes ∠A e ∠B são suplementares. Em geometria, se dois ângulos adjacentes em um quadrilátero são suplementares, os lados que os formam são paralelos. Portanto, AB é paralelo a CD e AD é paralelo a BC.
Passo 7
Como mostramos que os lados opostos são paralelos, concluímos que o quadrilátero ABCD é um paralelogramo.
Resposta
Portanto, se os ângulos opostos de um quadrilátero são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.
Exercícios relacionados
Consideremos as seguintes definições:
(i) Um losango é um paralelogramo cujos lados são congruentes.
(ii) Um retângulo é um paralelogramo cujos ângulos são retos.
(iii) Um quadrado é um retângulo cujos lados são congruentes.
Prove os seguintes itens:
© Se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam e são perpendiculares, então o quadrilátero é um losango.
(i) Um losango é um paralelogramo cujos lados são congruentes.
(ii) Um retângulo é um paralelogramo cujos ângulos são retos.
(iii) Um quadrado é um retângulo cujos lados são congruentes.
Prove os seguintes itens:
© Se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam e são perpendiculares, então o quadrilátero é um losango.
Consideremos as seguintes definições:
(i) Um losango é um paralelogramo cujos lados são congruentes.
(ii) Um retângulo é um paralelogramo cujos ângulos são retos.
(iii) Um quadrado é um retângulo cujos lados são congruentes.
Prove os seguintes itens:
(a) Se um paralelogramo tem um ângulo reto, então tem quatro ângulos retos, e o paralelogramo é um retângulo.
(i) Um losango é um paralelogramo cujos lados são congruentes.
(ii) Um retângulo é um paralelogramo cujos ângulos são retos.
(iii) Um quadrado é um retângulo cujos lados são congruentes.
Prove os seguintes itens:
(a) Se um paralelogramo tem um ângulo reto, então tem quatro ângulos retos, e o paralelogramo é um retângulo.
Considere o seguinte fato:
Se três retas paralelas determinam segmentos congruentes sobre uma transversal, então determinam segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal.
Utilizando o fato acima e o Teorema da Localização de Pontos, apresente um método para dividir um segmento em
partes congruentes.
Se três retas paralelas determinam segmentos congruentes sobre uma transversal, então determinam segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal.
Utilizando o fato acima e o Teorema da Localização de Pontos, apresente um método para dividir um segmento