Mostre que, se os ângulos opostos de um quadrilátero são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que se os ângulos opostos de um quadrilátero são congruentes (ou seja, têm a mesma medida), então esse quadrilátero é um paralelogramo. Isso está dentro da geometria plana, especificamente no estudo dos quadriláteros e suas propriedades. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é um paralelogramo e como as propriedades dos ângulos em um quadrilátero podem nos levar a essa conclusão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um paralelogramo. Um paralelogramo é um quadrilátero em que os lados opostos são paralelos. Uma das propriedades importantes de um paralelogramo é que os ângulos opostos são congruentes. Mas agora queremos provar o contrário: se os ângulos opostos são congruentes, então os lados opostos são paralelos, ou seja, o quadrilátero é um paralelogramo.

Passo 3

Vamos considerar um quadrilátero ABCD, onde os ângulos opostos são congruentes, ou seja, ∠A ≅ ∠C e ∠B ≅ ∠D. Nossa meta é mostrar que os lados opostos, AB e CD, e AD e BC, são paralelos.

Passo 4

Vamos usar a propriedade da soma dos ângulos internos de um quadrilátero. Sabemos que a soma dos ângulos internos de qualquer quadrilátero é 360°, ou seja:
∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360°

Passo 5

Como ∠A ≅ ∠C e ∠B ≅ ∠D, podemos substituir:
2∠A + 2∠B = 360°
Dividindo ambos os lados por 2:
∠A + ∠B = 180°

Passo 6

Isso significa que os ângulos adjacentes ∠A e ∠B são suplementares. Em geometria, se dois ângulos adjacentes em um quadrilátero são suplementares, os lados que os formam são paralelos. Portanto, AB é paralelo a CD e AD é paralelo a BC.

Passo 7

Como mostramos que os lados opostos são paralelos, concluímos que o quadrilátero ABCD é um paralelogramo.

Resposta

Portanto, se os ângulos opostos de um quadrilátero são congruentes, então o quadrilátero é um paralelogramo.

Exercícios relacionados

Consideremos as seguintes definições:
(i) Um losango é um paralelogramo cujos lados são congruentes.
(ii) Um retângulo é um paralelogramo cujos ângulos são retos.
(iii) Um quadrado é um retângulo cujos lados são congruentes.
Prove os seguintes itens:
© Se as diagonais de um quadrilátero se bisseccionam e são perpendiculares, então o quadrilátero é um losango.
Consideremos as seguintes definições:
(i) Um losango é um paralelogramo cujos lados são congruentes.
(ii) Um retângulo é um paralelogramo cujos ângulos são retos.
(iii) Um quadrado é um retângulo cujos lados são congruentes.
Prove os seguintes itens:
(a) Se um paralelogramo tem um ângulo reto, então tem quatro ângulos retos, e o paralelogramo é um retângulo.
Considere o seguinte fato:
Se três retas paralelas determinam segmentos congruentes sobre uma transversal, então determinam segmentos congruentes sobre qualquer outra transversal.
Utilizando o fato acima e o Teorema da Localização de Pontos, apresente um método para dividir um segmento em partes congruentes.