Mostre que se a série
converge, então a série
converge. Se a primeira divergir, mostre que a segunda pode convergir ou divergir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que se a série
, com
, converge, então a série
também converge. Além disso, se a primeira série divergir, a segunda pode tanto convergir quanto divergir. Vamos usar conceitos de séries e comparação para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se
converge e todos os
são não negativos, então a sequência
tende a zero quando
tende ao infinito. Ou seja,
.
Passo 3
Agora, vamos analisar a expressão
. Quando
é pequeno, digamos próximo de zero,
é aproximadamente 1, então
.
Passo 4
Sabendo que
para todo
, podemos comparar as séries. Se
converge, e sabemos que
, então pela comparação direta, já que
(pois
para termos uma série convergente), a série
também converge.
Passo 5
Como
é menor ou igual a
e esta última série converge, pela regra da comparação, a série
também converge.
Passo 6
Agora, vamos considerar o caso onde
diverge. Precisamos mostrar que
pode tanto convergir quanto divergir. Para isso, vamos dar exemplos:
-
Exemplo 1 (Convergir): Seja
. A série é a série harmônica, que diverge. Mas , e a série converge, já que é semelhante a , que é uma série p com . -
Exemplo 2 (Divergir): Seja
. A série diverge porque é uma série p com . Agora, , e a série também diverge por ser semelhante à série harmônica.
Resposta
Portanto, mostramos que se
converge, então
também converge. Além disso, se a primeira série divergir, a segunda pode tanto convergir como divergir, dependendo dos termos específicos da sequência
.