Mostre que se a série sumn=1^infty xn, xn >= 0 converge, então a série sumn=1^infty xn^21+xn^2 converge. Se a primeira divergir, mostre que a segunda pode convergir ou divergir.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que se a série , com , converge, então a série também converge. Além disso, se a primeira série divergir, a segunda pode tanto convergir quanto divergir. Vamos usar conceitos de séries e comparação para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se converge e todos os são não negativos, então a sequência tende a zero quando tende ao infinito. Ou seja, .

Passo 3

Agora, vamos analisar a expressão . Quando é pequeno, digamos próximo de zero, é aproximadamente 1, então .

Passo 4

Sabendo que para todo , podemos comparar as séries. Se converge, e sabemos que , então pela comparação direta, já que (pois para termos uma série convergente), a série também converge.

Passo 5

Como é menor ou igual a e esta última série converge, pela regra da comparação, a série também converge.

Passo 6

Agora, vamos considerar o caso onde diverge. Precisamos mostrar que pode tanto convergir quanto divergir. Para isso, vamos dar exemplos:
  • Exemplo 1 (Convergir): Seja . A série é a série harmônica, que diverge. Mas , e a série converge, já que é semelhante a , que é uma série p com .
  • Exemplo 2 (Divergir): Seja . A série diverge porque é uma série p com . Agora, , e a série também diverge por ser semelhante à série harmônica.

Resposta

Portanto, mostramos que se converge, então também converge. Além disso, se a primeira série divergir, a segunda pode tanto convergir como divergir, dependendo dos termos específicos da sequência .

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