Seja phi: [a, b] -> R uma função (limitada) integrável tal que phi(x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. Mostre que a função phi^2 : [a, b] -> R definida por phi(x)^2 = [phi(x)]^2 é integrável.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função phi que é contínua, limitada e integrável no intervalo [a, b], e que sempre é maior ou igual a zero nesse intervalo. A gente precisa mostrar que a função ao quadrado, ou seja, , também é integrável nesse mesmo intervalo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades de funções integráveis e limitadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser integrável em um intervalo. Basicamente, uma função é integrável se conseguimos calcular a área sob a curva dela nesse intervalo. No nosso caso, phi já é integrável, o que é um bom começo.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre ser limitada. Uma função limitada significa que existe um número real M tal que para todo x no intervalo [a, b], o valor de é menor ou igual a M. Ou seja, para todo .

Passo 4

Queremos provar que também é integrável. Notemos que como phi(x) ≥ 0, ao elevar ao quadrado, a função continua não negativa. Além disso, como phi é limitada por M, então para todo x no intervalo.

Passo 5

Sabemos que se uma função é limitada e contínua em um intervalo fechado, ela é integrável nesse intervalo. Já que phi é limitada e integrável, o mesmo vale para porque ela também é limitada (por ) e contínua, já que o quadrado de uma função contínua é contínua.

Passo 6

Outra forma de ver isso é observar que a integral de é finita. Como phi é limitada por M, temos:
Integrando ambos os lados no intervalo [a, b], obtemos:
Isso mostra que a integral de está limitada e, portanto, a função é integrável.

Resposta

Portanto, concluímos que a função é integrável no intervalo [a, b].

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