Seja
uma função (limitada) integrável tal que
para todo
. Mostre que a função
definida por
é integrável.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função
que é contínua, limitada e integrável no intervalo
, e que sempre é maior ou igual a zero nesse intervalo. A gente precisa mostrar que a função ao quadrado, ou seja,
, também é integrável nesse mesmo intervalo. Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo integral e propriedades de funções integráveis e limitadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser integrável em um intervalo. Basicamente, uma função é integrável se conseguimos calcular a área sob a curva dela nesse intervalo. No nosso caso,
já é integrável, o que é um bom começo.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre ser limitada. Uma função limitada significa que existe um número real
tal que para todo
no intervalo
, o valor de
é menor ou igual a
. Ou seja,
para todo
.
Passo 4
Queremos provar que
também é integrável. Notemos que como
, ao elevar ao quadrado, a função continua não negativa. Além disso, como
é limitada por
, então
para todo
no intervalo.
Passo 5
Sabemos que se uma função é limitada e contínua em um intervalo fechado, ela é integrável nesse intervalo. Já que
é limitada e integrável, o mesmo vale para
porque ela também é limitada (por
) e contínua, já que o quadrado de uma função contínua é contínua.
Passo 6
Outra forma de ver isso é observar que a integral de
é finita. Como
é limitada por
, temos:
Integrando ambos os lados no intervalo
, obtemos:
Isso mostra que a integral de
está limitada e, portanto, a função
é integrável.
Resposta
Portanto, concluímos que a função
é integrável no intervalo
.