Consideremos a superfície obtida girando a curva , em torno do eixo . Determine:
(a) Uma parametrização para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar uma parametrização da superfície , que é formada ao girar a curva no intervalo em torno do eixo . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria espacial e parametrizações de superfícies. Precisamos entender como descrever cada ponto da superfície usando parâmetros, geralmente coordenadas angulares e radiais.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a curva . Ela é uma parábola que se abre ao longo do eixo . Quando giramos essa curva ao redor do eixo , criamos uma superfície de revolução. Para parametrizar essa superfície, vamos usar coordenadas cilíndricas, que são ótimas para esse tipo de problema.

Passo 3

Nas coordenadas cilíndricas, qualquer ponto no espaço é descrito por , onde:
  • é a distância radial do ponto ao eixo ,
  • é o ângulo em torno do eixo ,
  • é a altura do ponto.
Como estamos girando a curva em torno do eixo , podemos relacionar e .

Passo 4

Na curva original, . Quando giramos essa curva, representa a distância radial no plano . Portanto, podemos reescrever a equação da curva em coordenadas cilíndricas como:

Passo 5

Agora, vamos expressar as coordenadas cartesianas em termos de e :
Aqui, varia de 0 a 4 (como dado no problema) e varia de 0 a para completar a rotação completa ao redor do eixo .

Resposta

Uma parametrização para é:
onde e .

Exercícios relacionados

Dada , determine:
Verifique se a sequência dada é monótona ou não monótona.
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Determinar , sendo:
(b) e é a fronteira do sólido , com vetor normal exterior.