Determinar , sendo:
(b) e é a fronteira do sólido , com vetor normal exterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde e é a fronteira do sólido . A ideia aqui é usar o Teorema da Divergência, que vai facilitar bastante nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial sobre uma superfície fechada é igual à integral de volume da divergência de sobre o sólido limitado por . Em fórmulas, isso fica:
Então, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, vamos calcular a divergência de e integrar isso sobre o volume .

Passo 3

Vamos calcular a divergência de . A divergência de um campo vetorial é dada por:
No nosso caso, , então:
Portanto,

Passo 4

Agora, precisamos integrar essa divergência, que é , sobre o volume . Vamos descrever em coordenadas cilíndricas, pois a simetria do sólido facilita os cálculos.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
E o volume é definido por . Então, os limites de integração são:

Passo 5

A integral de volume em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui, e o elemento de volume .

Passo 6

Vamos resolver a integral por partes. Primeiro, integramos em relação a :
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos calcular a integral interna em :
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral em :

Resposta

Portanto, a integral de superfície é igual a 0.

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(a) Uma parametrização para .
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