Determinar integral duplaSlang<= F, nrang<= d s, sendo:
(b) F(x, y, z)=(y, z, x z) e S é a fronteira do sólido W=(x, y, z) in R^3 ; x^2+y^2 <= z <= 1, com vetor normal n exterior.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície , onde e é a fronteira do sólido . A ideia aqui é usar o Teorema da Divergência, que vai facilitar bastante nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial integral duplaS lang<= F, n rang<= dS = integral triplaW nabla cdot F , dV sobre uma superfície fechada é igual à integral de volume da divergência de sobre o sólido limitado por . Em fórmulas, isso fica:
Então, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, vamos calcular a divergência de e integrar isso sobre o volume .

Passo 3

Vamos calcular a divergência de nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z . A divergência de um campo vetorial partial Fxpartial x = partial ypartial x = 0 é dada por:
partial Fypartial y = partial zpartial y = 0
No nosso caso, partial Fzpartial z = partial (xz)partial z = x , então:
nabla cdot F = 0 + 0 + x = x
Portanto,

Passo 4

Agora, precisamos integrar essa divergência, que é x = r cos theta , sobre o volume y = r sin theta . Vamos descrever z = z em coordenadas cilíndricas, pois a simetria do sólido facilita os cálculos.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
0 <= r <= raiz1 = 1
0 <= theta <= 2pi
r^2 <= z <= 1
E o volume é definido por . Então, os limites de integração são:

Passo 5

A integral de volume em coordenadas cilíndricas fica:
integral triplaW x , dV = integral0^2pi integral0^1 integralr^2^1 (r cos theta) , r , dz , dr , dtheta
Aqui, e o elemento de volume .

Passo 6

Vamos resolver a integral por partes. Primeiro, integramos em relação a integralr^2^1 dz = 1 - r^2 :
integral0^2pi integral0^1 (r cos theta) , r , (1 - r^2) , dr , dtheta = integral0^2pi cos theta ( integral0^1 r^2 (1 - r^2) , dr ) dtheta
Então, a integral fica:

Passo 7

Vamos calcular a integral interna em integral0^1 r^2 (1 - r^2) , dr = integral0^1 (r^2 - r^4) , dr = [ r^33 - r^55 ]0^1 = ( 13 - 15 ) = 215 :
215 integral0^2pi cos theta , dtheta
Então, a integral fica:

Passo 8

Agora, vamos calcular a integral em integral0^2pi cos theta , dtheta = [ sin theta ]0^2pi = sin(2pi) - sin(0) = 0 - 0 = 0 :

Resposta

Portanto, a integral de superfície é igual a 0.

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