Determinar
, sendo:
(b)
e
é a fronteira do sólido
, com vetor normal
exterior.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial juntos! A gente precisa calcular a integral de superfície
, onde
e
é a fronteira do sólido
. A ideia aqui é usar o Teorema da Divergência, que vai facilitar bastante nosso trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Divergência. Ele nos diz que a integral de superfície de um campo vetorial
sobre uma superfície fechada
é igual à integral de volume da divergência de
sobre o sólido
limitado por
. Em fórmulas, isso fica:
Então, ao invés de calcular a integral de superfície diretamente, vamos calcular a divergência de
e integrar isso sobre o volume
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. A divergência de um campo vetorial
é dada por:
No nosso caso,
, então:
Portanto,
Passo 4
Agora, precisamos integrar essa divergência, que é
, sobre o volume
. Vamos descrever
em coordenadas cilíndricas, pois a simetria do sólido facilita os cálculos.
Em coordenadas cilíndricas, temos:
E o volume
é definido por
. Então, os limites de integração são:
Passo 5
A integral de volume em coordenadas cilíndricas fica:
Aqui,
e o elemento de volume
.
Passo 6
Vamos resolver a integral por partes. Primeiro, integramos em relação a
:
Então, a integral fica:
Passo 7
Vamos calcular a integral interna em
:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos calcular a integral em
:
Resposta
Portanto, a integral de superfície
é igual a 0.
Exercícios relacionados
Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Consideremos a superfície
obtida girando a curva
, em torno do eixo
. Determine:
(a) Uma parametrização para .
(a) Uma parametrização para
Determine o conjunto solução da desigualdade em
.
Determine o conjunto solução da desigualdade em
.