Verifique se a sequência dada é monótona ou não monótona.

Passo 1

Beleza, vamos ver o que a questão está pedindo. A gente tem que verificar se a sequência é monótona ou não monótona. Aqui, “sequência monótona” significa que os termos da sequência estão sempre aumentando ou sempre diminuindo. Para resolver isso, vamos analisar como a função seno se comporta quando multiplicamos o índice por .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função seno. A função dá a altura do ponto na circunferência unitária correspondente ao ângulo . Sabemos que oscila entre -1 e 1 e tem um período de , ou seja, repete seus valores a cada unidade.

Passo 3

Agora, vamos olhar para a sequência dada: . Aqui, estamos calculando o seno de múltiplos inteiros de . Vamos calcular alguns termos para entender o padrão:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • E assim por diante…

Passo 4

Vemos que, independentemente do valor de , sempre resulta em 0. Isso porque o seno de qualquer múltiplo inteiro de é sempre zero.

Passo 5

Uma sequência que tem todos os seus termos iguais a um mesmo valor é chamada de constante. Uma sequência constante é, por definição, monótona porque não há aumento nem diminuição entre os termos.

Resposta

A sequência é monótona, pois todos os seus termos são iguais a zero.

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Consideremos a superfície obtida girando o círculo , em torno do eixo . Esta é a superfície do Toro. Determine:
(a) Uma parametrização para .
Determine o conjunto solução da desigualdade em .
Dada , determine:
Consideremos a superfície obtida girando a curva , em torno do eixo . Determine:
(a) Uma parametrização para .