Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por:
O conteúdo envolvido aqui é sequences (sequências) e series geométricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como identificar se uma sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite usando a fórmula da série geométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos observar que a sequência dada é uma soma de termos que seguem uma razão comum. Essa é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
Onde:
é o primeiro termo,
é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, comparando com a fórmula geral:
,
.
Passo 3
Agora, para determinar se a série converge ou diverge, precisamos analisar o valor absoluto da razão comum .
Regra das séries geométricas:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Vamos calcular para nossa sequência:
Como , a série converge.
Passo 4
Como a série converge, podemos encontrar o limite (soma infinita) usando a fórmula da soma da série geométrica infinita: