Determine se a sequência converge ou diverge. Se ela convergir, ache o limite.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência definida por:
O conteúdo envolvido aqui é sequences (sequências) e series geométricas. Para resolver isso, vamos precisar saber como identificar se uma sequência converge ou diverge e, se convergir, encontrar o limite usando a fórmula da série geométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos observar que a sequência dada é uma soma de termos que seguem uma razão comum. Essa é uma série geométrica. Uma série geométrica tem a forma:
Onde:
  • é o primeiro termo,
  • é a razão comum entre os termos.
No nosso caso, comparando com a fórmula geral:
  • ,
  • .

Passo 3

Agora, para determinar se a série converge ou diverge, precisamos analisar o valor absoluto da razão comum .
Regra das séries geométricas:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
Vamos calcular para nossa sequência:
Como , a série converge.

Passo 4

Como a série converge, podemos encontrar o limite (soma infinita) usando a fórmula da soma da série geométrica infinita:
Onde:
  • é a soma infinita,
  • é o primeiro termo,
  • é a razão comum.
Substituindo os valores que temos:

Resposta

A sequência converge e o limite é .

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(a) Uma parametrização para .
Dada , determine:
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