Consideremos a superfície obtida girando o círculo , em torno do eixo . Esta é a superfície do Toro. Determine:
(a) Uma parametrização para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para encontrar uma parametrização para a superfície , que é um toro. A gente vai precisar usar conhecimentos de geometria analítica e parametrização de superfícies. Basicamente, vamos transformar as coordenadas do círculo dado em uma forma que descreva todo o toro quando giramos esse círculo em torno do eixo .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o círculo que está sendo girado. A equação do círculo é , onde . Esse círculo está no plano e tem centro no ponto com raio . Isso significa que o círculo está deslocado unidades ao longo do eixo e tem uma “espessura” de .
Passo 3
Agora, para obter o toro, vamos girar esse círculo em torno do eixo . Quando fazemos isso, cada ponto do círculo descreve um caminho circular no espaço tridimensional. Para parametrizar isso, precisamos de dois parâmetros: um para a posição no círculo original e outro para o ângulo de rotação em torno do eixo .
Passo 4
Vamos chamar o ângulo que percorre o círculo original de e o ângulo de rotação em torno do de . Usando funções trigonométricas, podemos expressar as coordenadas , e de qualquer ponto no toro assim:
Aqui, varia de a para fazer a rotação completa ao redor do eixo , e também varia de a para percorrer o círculo original.