Verifique se a sequência dada é monótona ou não monótona.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para verificar se a sequência dada é monótona ou não. Isso significa que precisamos descobrir se os termos da sequência estão sempre aumentando, sempre diminuindo ou se não seguem nenhum padrão específico. Para resolver isso, vamos usar conceitos básicos de sequências e analisar o comportamento dos termos conforme
cresce.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o termo geral da sequência:
Aqui,
representa o
-ésimo termo da sequência. No numerador, temos o produto dos primeiros
números ímpares, e no denominador, temos
multiplicado por
(fatorial de
).
Passo 3
Para verificar se a sequência é monótona, vamos analisar a razão entre termos consecutivos, ou seja,
. Se essa razão for sempre maior que 1, a sequência é crescente. Se for sempre menor que 1, é decrescente. Se variar, não é monótona.
Vamos calcular
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos analisar o valor de
:
Como
, o termo
é sempre positivo e diminui conforme
aumenta. Portanto,
é sempre menor que 1 e está se aproximando de 1 à medida que
cresce.
Isso significa que cada termo da sequência é menor que o anterior, indicando que a sequência é decrescente.
Resposta
A sequência é monótona decrescente.