Determinar:
(a) o fluxo do campo
através da superfície fronteira do sólido
limitado pelas esferas
e
, orientadas com sentidos opostos (
aponta para fora de
).
(a) o fluxo do campo
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer saber como calcular o fluxo do campo vetorial
através da superfície que delimita um sólido
, que está entre duas esferas de raios
e
(com
). Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume delimitado pela superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Aqui,
é o fluxo do campo
através da superfície
, e
é a divergência de
dentro do volume
.
Passo 3
Vamos calcular a divergência de
. Para um campo vetorial
, onde
, a divergência é dada por:
Passo 4
Vamos calcular cada derivada parcial:
De maneira semelhante:
Passo 5
Somando as três derivadas:
Sabendo que
, substituímos:
Passo 6
Agora, aplicando o Teorema da Divergência, temos:
Precisamos calcular essa integral tripla sobre o volume
entre as duas esferas.
Passo 7
Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, onde
. A integral fica:
Passo 8
Agora, integramos cada variável separadamente:
Calculando cada integral:
Passo 9
Multiplicando os resultados:
Resposta
O fluxo do campo
através da superfície fronteira de
é
.