Determinar:
(a) o fluxo do campo F(x, y, z) = (x^2 + y^2 + z^2)^(-1) (x, y, z) através da superfície fronteira do sólido W limitado pelas esferas x^2 + y^2 + z^2 = a^2 e x^2 + y^2 + z^2 = b^2 a < b, orientadas com sentidos opostos ( n aponta para fora de W ).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer saber como calcular o fluxo do campo vetorial através da superfície que delimita um sólido , que está entre duas esferas de raios e (com ). Para resolver isso, vamos precisar usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a divergência desse campo dentro do volume delimitado pela superfície.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Teorema da Divergência. Ele diz que:
Aqui, é o fluxo do campo através da superfície , e é a divergência de dentro do volume .

Passo 3

Vamos calcular a divergência de . Para um campo vetorial , onde , a divergência é dada por:

Passo 4

Vamos calcular cada derivada parcial:
De maneira semelhante:

Passo 5

Somando as três derivadas:
Sabendo que , substituímos:

Passo 6

Agora, aplicando o Teorema da Divergência, temos:
Precisamos calcular essa integral tripla sobre o volume entre as duas esferas.

Passo 7

Para facilitar, vamos usar coordenadas esféricas, onde . A integral fica:

Passo 8

Agora, integramos cada variável separadamente:
Calculando cada integral:

Passo 9

Multiplicando os resultados:

Resposta

O fluxo do campo através da superfície fronteira de é .

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