Consideremos os vetores genéricos
. Para quais valores de
a aplicação
é um produto interno sobre o
?
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois vetores genéricos
e
no espaço bidimensional
. A aplicação dada é:
Queremos descobrir para quais valores de
essa aplicação é um produto interno em
. Para isso, precisamos lembrar o que define um produto interno.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é um produto interno. Um produto interno deve satisfazer algumas propriedades:
- Linearidade: É linear em cada argumento.
- Simetria:
. - Positividade:
para todo vetor .
No nosso caso, a aplicação já é simétrica, pois
. Então, precisamos focar na positividade.
Passo 3
Vamos analisar a positividade. Para que a aplicação seja um produto interno, deve ser que:
Isso significa que a expressão
precisa ser sempre positiva, a menos que
seja o vetor nulo.
Passo 4
Vamos considerar dois casos:
-
Caso 1:Se
, então . Como e apenas zero quando , essa parte está ok, pois se e , então é o vetor nulo. -
Caso 2:Aqui,
. Como , para que toda a expressão seja positiva, precisamos que .
Passo 5
Portanto, para garantir que
em todos os casos (exceto quando
é o vetor nulo), é necessário que
.
Resposta
A aplicação
é um produto interno em
para todo valor de
tal que
.