Consideremos os vetores genéricos u=(x1, y1), v=(x2, y2) in R^2. Para quais valores de t in R a aplicação
lang<= u, vrang<==x1 x2+t y1 y2
é um produto interno sobre o R^2 ?

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos dois vetores genéricos lang<= u, v rang<= = x1 x2 + t y1 y2 e no espaço bidimensional . A aplicação dada é:
Queremos descobrir para quais valores de essa aplicação é um produto interno em . Para isso, precisamos lembrar o que define um produto interno.

Passo 2

Primeiro, vamos revisar o que é um produto interno. Um produto interno deve satisfazer algumas propriedades:
  1. Linearidade: É linear em cada argumento.
  2. Simetria: .
  3. Positividade: para todo vetor .
No nosso caso, a aplicação já é simétrica, pois . Então, precisamos focar na positividade.

Passo 3

Vamos analisar a positividade. Para que a aplicação seja um produto interno, deve ser que:
lang<= u, u rang<= = x1^2 + t y1^2 > 0 para todo u neq 0
Isso significa que a expressão precisa ser sempre positiva, a menos que seja o vetor nulo.

Passo 4

Vamos considerar dois casos:
  1. Caso 1:
    Se , então . Como e apenas zero quando , essa parte está ok, pois se e , então é o vetor nulo.
  2. Caso 2:
    Aqui, . Como , para que toda a expressão seja positiva, precisamos que .

Passo 5

Portanto, para garantir que em todos os casos (exceto quando é o vetor nulo), é necessário que .

Resposta

A aplicação é um produto interno em para todo valor de tal que .

Exercícios relacionados