Mostrar que a soma de dois produtos internos sobre um espaço V também é um produto interno sobre V (antes, pense bem no significado da palavra
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que a soma de dois produtos internos em um espaço
também é um produto interno nesse espaço. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente na parte que trata de espaços vetoriais e produtos internos. Para resolver isso, vamos precisar entender quais são as propriedades que definem um produto interno e verificar se a soma de dois produtos internos mantém essas propriedades.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial
é uma função
que associa a cada par de vetores
um número real, e que satisfaz quatro propriedades fundamentais:
- Linearidade na primeira variável:
para todos e escalares . - Simetria:
para todos . - Positividade:
para todo . - Definitude:
se e somente se .
Passo 3
Agora, vamos considerar dois produtos internos diferentes em
, digamos
e
. Queremos mostrar que a soma desses dois produtos internos, definida por
, também satisfaz todas as propriedades de um produto interno.
Passo 4
1. Linearidade na primeira variável:
Vamos verificar se
é linear na primeira variável.
Para escalares
e vetores
:
Pela linearidade de
e
:
Então, a soma mantém a linearidade na primeira variável.
Passo 5
2. Simetria:
Vamos ver se
.
Como
e
são simétricos:
Logo, a simetria é preservada.
Passo 6
3. Positividade:
Vamos checar se
.
Como ambos
e
são não negativos (propriedade de positividade):
Portanto, a positividade é mantida.
Passo 7
4. Definitude:
Precisamos mostrar que
implica
.
Como ambos os termos são não negativos, para que a soma seja zero, cada termo individualmente deve ser zero:
Pelas propriedades de definitude dos produtos internos originais:
Logo,
.
Resposta
Assim, mostramos que a soma de dois produtos internos em
satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um produto interno. Portanto, a soma de dois produtos internos sobre um espaço
também é um produto interno sobre
.