Mostrar que a soma de dois produtos internos sobre um espaço V também é um produto interno sobre V (antes, pense bem no significado da palavra

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para mostrar que a soma de dois produtos internos em um espaço também é um produto interno nesse espaço. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente na parte que trata de espaços vetoriais e produtos internos. Para resolver isso, vamos precisar entender quais são as propriedades que definem um produto interno e verificar se a soma de dois produtos internos mantém essas propriedades.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é um produto interno. Um produto interno em um espaço vetorial é uma função que associa a cada par de vetores um número real, e que satisfaz quatro propriedades fundamentais:
  1. Linearidade na primeira variável: para todos e escalares .
  2. Simetria: para todos .
  3. Positividade: para todo .
  4. Definitude: se e somente se .

Passo 3

Agora, vamos considerar dois produtos internos diferentes em , digamos e . Queremos mostrar que a soma desses dois produtos internos, definida por , também satisfaz todas as propriedades de um produto interno.

Passo 4

1. Linearidade na primeira variável:
Vamos verificar se lang<= a u + b v, w rang<= = lang<= a u + b v, w rang<=1 + lang<= a u + b v, w rang<=2 é linear na primeira variável.
Para escalares = a lang<= u, w rang<=1 + b lang<= v, w rang<=1 + a lang<= u, w rang<=2 + b lang<= v, w rang<=2 e vetores = a (lang<= u, w rang<=1 + lang<= u, w rang<=2) + b (lang<= v, w rang<=1 + lang<= v, w rang<=2) :
= a lang<= u, w rang<= + b lang<= v, w rang<=
Pela linearidade de e :
Então, a soma mantém a linearidade na primeira variável.

Passo 5

2. Simetria:
Vamos ver se lang<= u, v rang<= = lang<= u, v rang<=1 + lang<= u, v rang<=2 .
lang<= v, u rang<= = lang<= v, u rang<=1 + lang<= v, u rang<=2
= lang<= u, v rang<=1 + lang<= u, v rang<=2 = lang<= u, v rang<=
Como e são simétricos:
Logo, a simetria é preservada.

Passo 6

3. Positividade:
Vamos checar se lang<= v, v rang<= = lang<= v, v rang<=1 + lang<= v, v rang<=2 .
lang<= v, v rang<= >= 0 + 0 = 0
Como ambos e são não negativos (propriedade de positividade):
Portanto, a positividade é mantida.

Passo 7

4. Definitude:
Precisamos mostrar que lang<= v, v rang<= = lang<= v, v rang<=1 + lang<= v, v rang<=2 = 0 implica lang<= v, v rang<=1 = 0 e lang<= v, v rang<=2 = 0 .
v = 0 e v = 0
Como ambos os termos são não negativos, para que a soma seja zero, cada termo individualmente deve ser zero:
Pelas propriedades de definitude dos produtos internos originais:
Logo, .

Resposta

Assim, mostramos que a soma de dois produtos internos em satisfaz todas as propriedades necessárias para ser um produto interno. Portanto, a soma de dois produtos internos sobre um espaço também é um produto interno sobre .

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