Sejam e vetores de um espaço euclidiano. Determinar o co-seno do ângulo entre , dado e .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , num espaço euclidiano. Sabemos que:
  • O módulo de é 5, ou seja, .
  • O módulo de é 8, ou seja, .
  • O módulo da soma dos vetores, , é .
Queremos encontrar o cosseno do ângulo entre e , que chamaremos de . Para isso, vamos precisar usar a definição do produto interno e a fórmula que relaciona os módulos dos vetores com o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula que relaciona o módulo da soma de dois vetores com o cosseno do ângulo entre eles:
Essa equação vem da propriedade do produto interno, onde:

Passo 3

Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula acima:
Simplificando os quadrados:

Passo 4

Agora, somamos os termos constantes:
Para isolar o termo com , subtraímos 89 de ambos os lados:

Passo 5

Finalmente, resolvemos para dividindo ambos os lados por 80:

Resposta

O cosseno do ângulo entre e é .

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então
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