Sejam
e
vetores de um espaço euclidiano. Determinar o co-seno do ângulo entre
, dado
e
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores,
e
, num espaço euclidiano. Sabemos que:
- O módulo de
é 5, ou seja, . - O módulo de
é 8, ou seja, . - O módulo da soma dos vetores,
, é .
Queremos encontrar o cosseno do ângulo entre
e
, que chamaremos de
. Para isso, vamos precisar usar a definição do produto interno e a fórmula que relaciona os módulos dos vetores com o cosseno do ângulo entre eles.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da fórmula que relaciona o módulo da soma de dois vetores com o cosseno do ângulo entre eles:
Essa equação vem da propriedade do produto interno, onde:
Passo 3
Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula acima:
Simplificando os quadrados:
Passo 4
Agora, somamos os termos constantes:
Para isolar o termo com
, subtraímos 89 de ambos os lados:
Passo 5
Finalmente, resolvemos para
dividindo ambos os lados por 80:
Resposta
O cosseno do ângulo entre
e
é
.
Exercícios relacionados
Mostrar que a soma de dois produtos internos sobre um espaço V também é um produto interno sobre V (antes, pense bem no significado da palavra
Provar que se
e
são vetores de um espaço vetorial então:?
então
Consideremos os vetores genéricos
. Para quais valores de
a aplicação
é um produto interno sobre o
?
Determine o momento de inercia que passa pelo o centro de uma esfera maciça e uniforme de raio R , massa M .