Sejam u e v vetores de um espaço euclidiano. Determinar o co-seno do ângulo entre u e v, dado |u|=5,|v|=8 e |u+v|=raiz129.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u e v, num espaço euclidiano. Sabemos que:
  • O módulo de u é 5, ou seja, |u| = 5.
  • O módulo de v é 8, ou seja, |v| = 8.
  • O módulo da soma dos vetores, |u + v|, é raiz129.
Queremos encontrar o cosseno do ângulo entre u e v, que chamaremos de cos(theta). Para isso, vamos precisar usar a definição do produto interno e a fórmula que relaciona os módulos dos vetores com o cosseno do ângulo entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula que relaciona o módulo da soma de dois vetores com o cosseno do ângulo entre eles:
|u + v|^2 = |u|^2 + |v|^2 + 2|u||v|cos(theta)
Essa equação vem da propriedade do produto interno, onde:
u cdot v = |u||v|cos(theta)

Passo 3

Vamos substituir os valores conhecidos na fórmula acima:
(raiz129)^2 = 5^2 + 8^2 + 2 times 5 times 8 times cos(theta)
Simplificando os quadrados:
129 = 25 + 64 + 80 cos(theta)

Passo 4

Agora, somamos os termos constantes:
129 = 89 + 80 cos(theta)
Para isolar o termo com cos(theta), subtraímos 89 de ambos os lados:
129 - 89 = 80 cos(theta)
40 = 80 cos(theta)

Passo 5

Finalmente, resolvemos para cos(theta) dividindo ambos os lados por 80:
cos(theta) = 4080 = 12

Resposta

O cosseno do ângulo entre u e v é 12.

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