Determine o momento de inercia que passa pelo o centro de uma esfera maciça e uniforme de raio R , massa M .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra descobrir o momento de inércia de uma esfera maciça e uniforme que tem raio
e massa
. O momento de inércia é uma medida de quanta massa de um objeto está distribuída de longe do eixo de rotação. Vamos usar conceitos de física sobre momentos de inércia e integrais para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral para o momento de inércia
de um corpo rígido:
Aqui,
é a distância de um elemento de massa
ao eixo de rotação.
Passo 3
Como estamos lidando com uma esfera uniforme, a densidade de massa
é constante. A densidade pode ser calculada por:
Isso porque o volume da esfera é
.
Passo 4
Agora, para uma esfera, é mais fácil usar coordenadas esféricas para integrar. Vamos considerar um elemento esférico de massa em uma camada de raio
e espessura
. A massa desse elemento é:
Passo 5
Substituindo
na fórmula do momento de inércia, temos:
Passo 6
Vamos calcular a integral:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Agora, substituímos a densidade
que calculamos no Passo 3:
Passo 8
Simplificando os termos:
Resposta
O momento de inércia da esfera em relação ao seu centro é:
Exercícios relacionados
Consideremos os vetores genéricos
. Para quais valores de
a aplicação
é um produto interno sobre o
?
Sejam
e
vetores de um espaço euclidiano. Determinar o co-seno do ângulo entre
, dado
e
.
Seja
um operador auto-adjunto de um espaço euclidiano
.
, para todo
, mostrar que
Provar que os vetores 1 , t e
de
(IR) são dois a dois ortogonais em relação ao produto interno dado por: