Determine o momento de inercia que passa pelo o centro de uma esfera maciça e uniforme de raio R , massa M .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra descobrir o momento de inércia de uma esfera maciça e uniforme que tem raio e massa . O momento de inércia é uma medida de quanta massa de um objeto está distribuída de longe do eixo de rotação. Vamos usar conceitos de física sobre momentos de inércia e integrais para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula geral para o momento de inércia de um corpo rígido:
Aqui, é a distância de um elemento de massa ao eixo de rotação.

Passo 3

Como estamos lidando com uma esfera uniforme, a densidade de massa é constante. A densidade pode ser calculada por:
Isso porque o volume da esfera é .

Passo 4

Agora, para uma esfera, é mais fácil usar coordenadas esféricas para integrar. Vamos considerar um elemento esférico de massa em uma camada de raio e espessura . A massa desse elemento é:

Passo 5

Substituindo na fórmula do momento de inércia, temos:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Agora, substituímos a densidade que calculamos no Passo 3:

Passo 8

Simplificando os termos:

Resposta

O momento de inércia da esfera em relação ao seu centro é:

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